6.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式（第3课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式（第3课时） 学习目标 2 两角和与差的正切公式 两角和与差的正弦公式 知识回顾 两角和与差的余弦公式 例 ８　 若 △ ABC 不是直角三角形 ， 求证 ： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 新课讲解 解 　 设以x轴正半轴为始边 、OA为终边的角为 θ 例 １０　 把下列各式化为 Aｓｉｎ （ α ＋ φ ）（ A＞０ ） 的形式 ： （ ２ ） ｓｉｎ α －ｃｏｓ α ； （ ３ ） aｓｉｎ α ＋ b ｃｏｓ α （ ab ≠０ ） （ ３ ） aｓｉｎ α ＋ bｃｏｓ α = 注意到 为单位圆上的一点 ， 由正弦及余弦的定义 ， 存在唯一的角 φ ∈ ［ ０ ，２π）， 使得 于是有 aｓｉｎ α ＋ bｃｏｓ α = （ｓｉｎ α ｃｏｓ φ ＋ｃｏｓ α ｓｉｎ φ ） 练习 ６． ２ （ ３ ） １． 在 △ ABC 中 ， 已知 ｃｏｓ A ＝ 求 ｓｉｎ C和 ｃｏｓ C的值 ． ｃｏｓB＝ 求 ｓｉｎ （ α ＋ β ） 和 ｃｏｓ （ α ＋ β ） 的值 ， 并判断 α ＋ β 是第几象限的角 ． 课本练习 ３． 把下列各式化为 Aｓｉｎ （ α ＋ φ ）（ A ＞０ ） 的形式 ： （ １ ） ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ； 题型一 给角求值 【例1】利用和（差）角公式计算下列各式的值. 题型分类讲解 解题方法（利用公式求值问题） 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值. 题型二 给值求值 【例2】 【例3】 解题方法（给值求值的解题策略） (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: 题型三 给值求角 解题方法（解决三角函数给值求角问题的方法步骤） 随堂检测 2、在锐角△ABC中，求证： （1） tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC； 【证明】（1）因为A+B+C=π，所以A+B=π－C， 所以tan（A+B）=tan（π－C），所以 整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC； （2）因为A、B、C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，从而有 左边 右边； 所以原式成立； 3、把下列各式化为 的形式： 【解析】（1） （2） （3） 1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．(重点) 3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(难点) 4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．(易错点) ①α=(α-β)+β;②α=;③2α=(α+β)+(α-β); ④2β=(α+β)-(α-β). 【解析】　∵tanα＝eq \f(1,7)<1且α为锐角，∴0<α<eq \f(π,4). 又∵sinβ＝eq \f(\r(10),10)<eq \f(\r(50),10)＝eq \f(\r(2),2)且β为锐角． ∴0<β<eq \f(π,4)，∴0<α＋2β<eq \f(3π,4).① 由sinβ＝eq \f(\r(10),10)，β为锐角，得cosβ＝eq \f(3\r(10),10)，∴tanβ＝eq \f(1,3). ∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,7)＋\f(1,3),1－\f(1,7)×\f(1,3))＝eq \f(1,2). ∴tan(α＋2β)＝eq \f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.② 由①②可得α＋2β＝eq \f(π,4). 【例4】 已知tanα＝eq \f(1,7)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值． (1)给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合