2024年中考数学压轴题训练——二次函数与圆综合

2024年中考数学压轴题训练——二次函数与圆综合 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若是抛物线第二象限上一动点，过点作轴于点，过点、、的圆与交于点，求的面积． 2．如图，二次函数的图象经过点，，点为二次函数第一象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆与交于点． (1)求，的值； (2)当周长最大时，求此时点点坐标及周长； (3)连接、，当时，求出点点坐标． 3．综合运用 已知：抛物线与轴交于，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1：抛物线的对称轴交轴于点，在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标；（不需要证明） (3)如图2：点在对称轴上，以点为圆心过A、两点的圆与直线相切，求点的坐标． 4．如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，的外接圆的圆心为．                                 备用图 (1)求该二次函数的解析式； (2)在段的抛物线上是否存在一点，使，若存在请求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)圆上是否存在点，使与相似？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由． 5．如图， 直线与x轴交于点B， 与y轴交于点 C，其中，， 抛物线 经过 B， C两点， 并与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点 E在线段上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时点F在线段上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动． 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动． 设运动时间为t秒， 求t为何值时，的面积最大？并求出最大值； (3)是否存在某个时间t，使得以为直径的圆与的边或相切？若存在，求出t； 若不存在，请说明理由． 6．已知在以点为原点、所在直线为轴的平面直角坐标系中，圆内接四边形的对角线、相交于，经过的内心，且抛物线经过、、三点． (1)求证：； (2)求证：； (3)、、四边形的面积分别记为，、S，求同时满足以下三个条件的抛物线的解析式； ①， ②， ③四边形的周长为 7．如图，已知直线：和抛物线：，抛物线的顶点为原点，且经过点，直线与y轴交于点F，与抛物线L交于点，，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线L上的一个动点． ①以点P为圆心，为半径作，试判断与直线的位置关系，并说明理由； ②若点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)求证：无论k为何值，直线总是与以为直径的圆相切． 8．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； (3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 9．如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一个动点，求使的点P的坐标； (3)是过A、B、C三点的圆，连接、、，求劣弧的长． 10．已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式： (2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标： (3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程） 11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)若抛物线上存在一个点P，使得，请求出P点的坐标． (3)已知点M的坐标，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝1． (1)求二次函数的解析式； (2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 13．已知抛物线y＝ax2﹣bx﹣3交x轴于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（3，0），交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴相交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在线段BC下方的抛物线上，当△MBC面积最大时