2024年中考九年级数学专题复习：正方形折叠问题综合训练

2024年中考九年级数学专题复习：正方形折叠问题综合训练 1．如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图1，点E是正方形的边上一点，以为对称轴将对折得到，再将与重合折叠，折痕与的延长线交于点，与交于点，连接，．    (1)设与交于点，证明：； (2)探索，和之间的数量关系，并加以证明； (3)如图2，当点E是的中点时，连接，其他条件不变，直接写出和之间的面积关系，即 ． 3．已知：正方形纸片，将纸片折叠，使点落在处，折痕经过点交于点．    (1)如图①，当延长线交于时，易证：； (2)如图②，当延长线交延长线于时，如图③，当折痕的延长线交延长线于，延长线交延长线于时，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 4．数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1．    转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边于点E，F，连接，如图2． 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4． (1)______，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）； (2)线段之间的数量关系为______； (3)连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点G、点H．如图3，求的值． 5．如图，在边长为9的正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点A、D重合），点C落在点处，与交于点P，连接，作点H．    (1)感知：①当时，的大小为________． ②求的长． (2)探究：当在边上位置变化时，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． (3)应用：若，直接写出五边形的周长． 6．观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G，    (1)小明认为，你同意吗？请说明理由． (2)实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长． 7．在综合与实践课上老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断： 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图①，当为中点时，求证是等边三角形． （2）迁移探究： 如图②，若，且，求正方形的边长；如图③，若，直接写出的值为______ ． 8．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．      (1)㩧作猜想 操作一：对折正方形纸片、使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：继续沿折叠，使点D落在正方形内部点G处，把纸片展平，连接、； 根据以上操作：在图2中写出一个与相等的角______． (2)探究证明 ①如图3，延长与边交于点，连接，则与的大小关系是______；线段、、之间的数量关系是______； ②判断点在上的位置、并说明理由． (3)拓展延伸 如图4，若正方形的边长为，直接写出点到线段的距离． 9．如图，在正方形中，E是边上一点（不与B、C重合），将正方形沿折叠，使点B落在点F处，延长交于点G，连接．    (1)求证：； (2)若． ①求的周长： ②若点E是的中点，是的平分线，求的长 10．如图1．将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形附为叠合矩形．    (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______、______，______； (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，．求的长； (3)如图4，四边形纸片满足，，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并直接写出的长．（写出一种即可） 11．“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点、分别是、边上的动点．    (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．点恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为，连接，试说明； (2)若，，如图②，且，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为______； (3)若四边形是正方