2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（与面积有关的问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（与面积有关的问题） 1．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的一个交点为，过点作轴交抛物线于点． 设抛物线的顶点为，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线上，是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．在线段是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标； (3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图所示，，两点在二次函数与一次函数图象上． (1)求的值和二次函数的解析式． (2)请直接写出使时，自变量的取值范围． (3)二次函数交轴于，请求出的面积． 4．如图，抛物线 过点，矩形的边在线段上（点A 在点B的左侧），点C，D在抛物线上，的平分线交于点M，点N是的中点，已知 ． (1)求抛物线的解析式； (2)分别为轴， 轴上的动点，顺次连接 构成四边形求四边形周长的最小值； (3)在轴下方且在抛物线上是否存在点P，使 中边上的高为 ？若存在， 求出点 P的坐标； 若不存在， 请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求面积的最大值； (3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图1，已知抛物线（是常数且）与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，若点是抛物线上的一点且位于第二象限内，连接与交于点，连接． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最大值． 7．如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点(不与点B、C重合)，过点P作y轴的平行线，交于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)用含t的代数式表示线段的长，求的最大值及此时点M的坐标； (3)过点C作于点H，． ①求点P的坐标； ②连接，在y轴上是否存在点Q，使得是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点是抛物线上的一点，当点在直线的上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知关于二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，该二次函数图象的对称轴与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在轴上存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)有一个动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在上向点运动，另一个动点从点与点同时出发，以每秒2个单位长度的速度在该二次函数图象的对称轴上竖直向上运动，当点到达点时，点同时停止运动，请问点，运动到何处时，的面积最大，求出这个最大面积． 10．如图，为平面直角坐标系坐标原点，抛物线经过点，，与轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上一点，连接、和，设点的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，为第四象限抛物线上一点，连接交轴于点，点在线段上，点在直线上，若，四边形为菱形，求点的坐标． 11．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点．直线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)连接是轴上的一点，当与（不包括全等）相似时，求点的坐标． (3)如图2，若点在抛物线上，连接，当m取何值时，的面积最大？并求出的面积的最大值． 12．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．点是该抛物线上位于第二象限的动点，连接，．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当时，求点的横坐标； (3)点到直线的距离的最大值为________，此时点的坐标为________； (4)在抛物线的对称轴上找一点，抛物线上找一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 13．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．    (1)直接写出：点坐标________，点坐标________；