2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（特殊三角形问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（特殊三角形问题） 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标． 2．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来． 3．如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． 4．如图1，抛物线：与x轴的正半轴和y轴分别交于点A，B，顶点为C，直线交x轴于点D． (1)直接写出点和的坐标； (2)把抛物线沿直线方向平移，使平移后的抛物线经过点A，点E为其顶点．求抛物线的解析式，并在图1中画出其大致图象，标出点E的位置；在x轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注：该步若要用到备用图，则不要求再画出抛物线的大致图象） 5．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之差最大，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．（直接写出结果） 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点,点P是抛物线上一个动点，连接      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接,求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． (4)若点M是x轴上的一个动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M,使得以点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 9．如图，抛物线与轴的负半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点．    (1)求直线的表达式． (2)点是线段上任意一点，过点作轴，交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当时，求的值． ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的值． 10．如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点． (1)求出的值及二次函数的表达式； (2)当随的减少而增大且时，直接写出的取值范围； (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积等于，若存在请求出点坐标，不存在请说明理由； (4)在轴上确定一点使为直角三角形，请直接写出点的坐标． 11．如图，点P是直线上的点．过点P的另一条直线交抛物线于A，B两点．    (1)若直线的解析式为，求，两点的坐标； (2)①若点P的坐标为，当时，请直接写出点A的坐标； ②试证明，如图②，对子直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立； (3)设直线l交y轴于点C，如图③，若的外心在边上，且，求点P的坐标． 12．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴正半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，点P在线段上，轴交直线于G，延长到点E，使，以为斜边在右侧作等腰直角．当点F正好落在抛物线上时，求P点的坐标； (3)直线与抛物线交于点M，N，是否存在实数m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线与y轴