2024年九年级中考数学专题复习：圆与锐角三角函数综合相关证明

2024年九年级中考数学专题复习：圆与锐角三角函数综合相关证明 1．图，为的切线，为切点，直线交于点，点，过点作的垂线垂足为，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：与相切； (2)若，，求的值． 2．已知∶如图，为半圆上的一点，，过点作直径的垂线，为垂足，弦分别交于点． (1)求证∶； (2)若，，求的长 3．如图，是的切线，点在直径的延长线上． (1)求证∶； (2)若 ，，求的长． 4．如图，内接于，高经过圆心． (1)求证：； (2)若的半径为5，求的值． 5．如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)若，求的值． 6．在中，，平分交于点D，点O是边上一点，以为半径的圆恰好经过点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，四边形内接于，交于点E，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图，是的直径，，为圆上的两点，是的中点，，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接，，． (1)求证：与相切； (2)求证：； (3)若，，求线段的长． 9．如图，为的直径，是弧的中点，与，分别交于点，．    (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若的半径，且，求的长． 10．如图所示，已知为的直径，是弦，且于点E．连接．    (1)求证：； (2)若，，求的直径． 11．如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与交于点，连接并延长交的延长线于点，且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径的长． 12．如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F．    (1)求证：平分； (2)当弧的度数为时，求的面积与的面积比； (3)若，求的半径． 13．已知：的直径为3，线段，直线和分别与相切于点， (1)求证：点是线段的中点； (2)求的值． 14．如图，中，，以为直径的分别交边于点，过点作的切线交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，，求和的长． 15．如图，为的直径，四边形内接于，对角线、交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 16．如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 17．如图，在中，，点是上一点，以为半径，与相交于点，与相切于点，连结．    (1)求证：平分； (2)已知，，求的半径． 18．如图，在，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 19．如图，中，是中线，以为直径的交于点E，作于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 20．如图，是的直径，点E在上，连接和，平分交于点C．过点C作，交的延长线于点D，连接．    (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1 【分析】此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1）连接，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，即垂直平分，可得出，再由，，利用得出三角形与三角形全等，由为圆的切线，得到垂直于，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到垂直于，即为圆的切线； （2）连接，构建直角．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设，，进而可得；然后由面积法求得，所以根据垂径定理求得的长度，在中，根据勾股定理易求的长；最后由余弦三角函数的定义求解． 【详解】（1）证明：连接， 与圆相切， ，即， ， 为中点，即垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ， 则直线为圆的切线； （2）解：连接，则． ， ， 可设，， 则由勾股定理，得 ， ， ． 又， ， 中，， ， ， 解得：， ， ． 2．(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，然后根据题意得到，然后通过等量代换得到，进而求解即可； （2）已知，就是已知的正切值，根据，可以根据相似三角形的对应边的比相等求得． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， ． 是直径， ． ， ， ， ， ． （2）解：，， ． ． ，， ． ，． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的运用，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 3．(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，只要求出即可，