2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明

2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明 1．如图，在中，，于点D，E是AC上一点，以为直径的交于点F，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 、 2．如图，在中，为非直径弦，点D是 的中点，是的角平分线． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，时，求弦与围城的弓形面积． 3．如图，点为以为直径的半圆上一点，连接，并延长到点，使得，半径交于点，连接交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的长度． 4．如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 6．如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，交于点，连接并延长交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，是的直径，是的弦． (1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 8．如图，的顶点在上，为对角线，的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若是的切线，，求的长． 9．如图，中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，求的长． 10．如图，已知的弦等于半径，连接、，并延长到点，使得，连接，过点作于点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．如图，线段经过的圆心交于，两点，为的弦，连接，，连接并延长交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 12．如图，为的直径，为上一点，．    (1)求证：为的切线． (2)当时，求的长． 13．如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求、的长． 14．如图，是的直径，是弦，点D在的延长线上，且，的切线与的延长线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 15．如图，已知是的直径，点P在的延长线上，弦平分，且于点D． (1)求证：是的切线． (2)若，求弧的长． 16．如图，为的直径，于，在上，连接，，延长与的延长线交于，在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 17．如图，为的直径，点C是圆上一点，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点D． (1)求证：为切线； (2)若，，求的长． 18．如图，是的外接圆，点在延长线上，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若是的平分线，，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． (1)由，于点D，得，而，根据三角形的中位线定理得，则，即可证明是的切线； (2)连接，由，得到，由垂直平分，得，由 是的直径，得，则，． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴，即． 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）连接， ∵，， ∴． ∵，，即垂直平分， ∴． 又∵是的直径， ∴． 中， 中， 2．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】此题考查了解直角三角形、切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法，． （1）点D是 的中点，可以得到，即可得到，再根据角平分线的定义得到，进而得到结论； （2）连接、、，则可得到，然后根据等边对等角可以得到，即可得到结论 （3）先求出，继而利用求得答案． 【详解】（1）解：如图，∵点D是 的中点， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、、， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：由（2）可知，， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据为半圆的直径，得出，根据已知条件可得，即可得证； （2）根据垂径定理得，进而根据已知可得，得出，根据得出，进而得出是等边三角形，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为半圆的直径， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵为半圆的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，弧与弦的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．(