2024年九年级中考数学专题复习：旋转综合压轴题

2024年九年级中考数学专题复习：旋转综合压轴题 1．在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 2．【问题发现】 （1）如图1所示，中，，，点D为边上一点，且，过点D作，交BC边于点E，的数量关系为__________，直线所夹锐角为：____________； 【知识迁移】 （2）如图2所示，将（1）中的绕点C顺时针旋转，连接，两线交于点P，请问（1）中的结论还成立吗？请说明你的理由； 【经验升华】 （3）如图3所示，，，其他条件同（1），在绕点C的旋转过程中，请直接写出三点共线时AE的值． 3．在中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若，，，求线段的长度． (2)如图2，点为线段的中点，连接，若，猜想，，的数量关系． (3)如图3，当时，过点作射线的垂线，垂足为点．点为直线上的一个动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，取的中点为点，连接，当线段取得最小值时，将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，直接写出的值． 4．综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图1，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， 可证：．请写出证明过程； 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图2，若延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想，的数量关系，并证明你的猜想． 5．【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在边上时，求D点的坐标； 【继续探究】 （2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H， ①求证：； ②求点H的坐标． 【拓展探究】 （3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则= ； 深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 7．已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 8．在中，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，使得，连接，交于点，连接． (1)如图1，当时，若平分，求证：； (2)如图2，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接．若，当，时，请直接写出的值． 9．如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：    (1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：； (2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由； (3)当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值． 参考公式： 10．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 11．在平面直角坐标系中，三角形的顶点，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点B，O的对应点分别为C，D，旋