直线与平面所成的角 讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

直线与平面所成的角 知识回顾 1．斜线、垂线、射影 （1）垂线：自一点向平面引垂线，垂足叫这点在这个平面上的射影，即图中的点． （2）斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，即直线；斜线和平面的交点叫斜足，即点． （3）射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射影，即直线． 2．直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫这条斜线和这个平面所成的角． （2）若一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角为；若一条直线平行于平面或在平面内，我们就说它们所成的角为．所以，直线和平面所成的角满足． 典型例题 例1．如图，已知正方形的边长为，为平面外一点，平面，且，求： （1）与平面所成的角； （2）与平面所成的角 例2．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，平面，为垂足，为平面内的一条直线，，，．求证： （1）（简称三面角的余弦公式）； （2）（即线面角的最小性）； （3）． 变式．如图，从点引三条射线，，，且每两条射线之间的夹角都等于，求与平面所成角的余弦值． 例3．如图，在三棱台中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 例4．如图，为所在平面外一点，为点在平面内的射影，若，．求证： （1）为的垂心； （2）． 变式．已知所在平面外一点在平面内的射影为． （1）若，则为的________心，又，则为________； （2）若，，与平面所成的角相等，则为的________心； （3）若点在内，且点到三边的距离相等，则为的________； （4）若四面体的侧棱，，，两两垂直，则为的________心． 巩固训练 一、单选题 1.如图，为正方体的中心，则在该正方体各个面上的射影可能是（ ）. A.①②③④ B.①③ C.①④ D.②① 2.在正方体中，面对角线与对角面所成的角为（ ）. A. B. C. D. 3.设点到平面的距离是，自点作平面的两条斜线段，，分别与平面成，角，，则两斜足，间的距离为（ ）. A. B. C. D. 4.已知是四边形所在平面外一点，且点到各边的距离相等，则这个四边形一定是（ ）. A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.平行四边形 5.如图，平面外有一点，，，点到，的距离都等于，那么与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 6.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（    ）    A．与底面所成角为 B．与平面所成角为锐角 C．与平面所成角是 D．与平面所成的角小于与平面所成的角 三、填空题 7.如图，在正方体，中，是的中点，是底面的中心，是上的任意点，则直线与所成的角为_______. 8.如图，在中，斜边，它在平面上的射影的长为，，则与平面所成的角的正弦值为_______. 9.已知为所在平面外一点，且，，，，则点到平面的距离为_______，与平面所成的角为_______. 三、解答题 10.如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，，为垂足，为内的一条直线，，，求斜线和平面所成的角. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与平面所成的角 例1．如图，已知正方形的边长为，为平面外一点，平面，且，求： （1）与平面所成的角； （2）与平面所成的角． 【答案】（1）．（2）． 【解析】（1）因为平面． 所以为在平面上的射影， 于是为与平面所成的角， 在中，，， 故， 所以与平而所成的角为． （2）如图，连接．因为平面，所以， 在正方形中，， 所以平面， 所以为在平面上的射影， 于是为与平面所成的角． 在中，，， 故，所以， 故与平面所成的角为． 例2．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，平面，为垂足，为平面内的一条直线，，，．求证： （1）（简称三面角的余弦公式）； （2）（即线面角的最小性）； （3）． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】证明:（1）如图，过点作于点，连接，因为平面，所以，又，所以平面，可得，所以 ． （2）由，可知，又余弦函数在上单调递减，于是，这就证明了在一条斜面与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小． （3）因为，则，即， ，这就是著名的三垂线定理，它只是三面角余弦公式的一个特例． 变式．如图，从点引三条射线，，，且每两条射线之间的夹角都等于，求与平面所成角的余弦值． 【答案】见详解． 【解析】 如图，过点作平面，为垂足，则为在平面上的射影． 所以是与平而所成的角． 过点作于点，连接，易得，同理，过点作于点，连接，则， 因为，可得， 由，可得． 例3．如图，在三棱台中，，，，，． （1）求