北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题

北京市八一学校 2023―2024 学年度第二学期开学考 高 三 数 学 试 卷 2024.02 本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题共 10小题,每小题 4分,共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. 已知集合 2{( , ) | }, {( , ) | }A x y y x B x y y x    ，则 A B  （ ）D A．{0,1} B．{(0,0)} C．{(1,1)} D．{(0,0), (1,1)} 2. 已知复数 z满足 i 2 i z   ，则复数 z的虚部为（ ）A A．1 B． i C．2 D． 2i 3. 已知 ( ) sin cosf x x x ，则 ( )f x 的最小值与最小正周期分别是（ ）A A． 1 2  ， π B． 1 2  ， 2π C． 2 ， π D． 2 ， 2π 4. 已知数列 na 的前 n项和 2nS n n  ，则 2 3a a （ ）B A．3 B．6 C．7 D．8 5. 已知实数� > � > 0，� ∈ �，则下列不等式中成立的是( )B A. �+��+� > � � B. ( 1 2 ) a < ( 12 ) b C. �� > � � D. � −2 > �−2 6. 己知�, �分别为�轴，�轴上的动点，若以��为直径的圆与直线 2 2 0x y   相切，则该 圆面积的最小值为( )A A. 5  B. 2 5  C. 4 5  D.  7. 已知 1 2F F， 是双曲线 2 2 1 : 18 yC x   与椭圆 2C 的左、右公共焦点， A是 1 2C C， 在第一象 限内的公共点，若 1 2 1| | | |F F F A ，则 2C 的离心率是( )D A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 3 5 8. 设� ∈ �，若“� > 1”是“�� > ���”的充分不必要条件，则实数�的取值范围是( )B A. (0, + ∞) B. ( 1e , + ∞) C. (1, + ∞) D. (�, + ∞) 9.正方体 ABCD A B C D 1 1 1 1的棱长为 1，动点M 在线段CC1 上，动点 P在平． 面．A B C D1 1 1 1上,且 AP 平面MBD1 . 线段 AP 长度的取值范围是 ( )C ． A. [1, 2] B. [ 6 2 , 3] C. [ 6 2 , 2] D. [ 6 2 +∞) 10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他 们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 , , ( ,a b c a b c  且 , , )Na b c  ；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙和 丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是( )C A. 每场比赛的第一名得分 a为 4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一场比赛获得第三名 第二部分（非选择题 共 110分） 二、填空题共 5小题,每小题 5分,共 25分. 11. 若 5( )x a 的二项式展开式中 2x 的系数为 10，则 a _________． -1 12. 关于�的不等式�2 − (� + 1)� + � < 0 的解集中至多包含 1个整数，写出满足条件的一个� 的_____[ − 1,3] 13.如图，单位向量��，�� 的夹角为�2，点�在以�为圆心，1 为半径的弧�� 上运动，则�� ⋅ ��的最小值为 ．1− 2 14. 已知函数 ( )f x 定义域为 R ，设 ( ) ( ) 1, ( ) 1 ( ) 1.f f x f x F x f x     ， ， 若 ( ) e 1a xf x   ，且对任意 xR ， ( ) ( )fF x f x ，则实数 a的取值范围为_____. ( , ln 2] 15. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点 的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的离心率为 2 2 ， 1F ， 2F 分别为椭圆的左、右焦点，A B， 为椭圆上 两个动点．直线 l的方程为 2 2 0.bx