第六章第2节平面向量数乘运算（共2课时）导学案2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 一、学习目标： 1．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义． 2．了解平面向量线性运算的性质及其几何意义． 二、知识清单： 知识点一　向量的数乘运算 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的_____，记作_____ 模 |λa|＝_____． 方向 λa(a≠0)的方向： 特别地，当__________时，λa＝___． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a． 知识点二　向量的线性运算 向量数乘 的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a． (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa． (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 向量的线性运算 向量的_____、_____、_____运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 知识点三　共线向量定理 三、例题精讲： 题型一：向量数乘运算的定义 【例1】(2021·四川乐山高一期末)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　) A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．＝·a D．＝· 【变式1】 1.(多选)(2022·河北承德第一中学月考)对于非零向量a，下列说法正确的是(　　) A．2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同 B．－的长度是a的长度的，且－与a方向相反 C．若λ＝0，则λa等于零 D．若λ＝，则λa是与a同向的单位向量 题型二：向量的线性运算 【例2】 【变式2】 题型三：用已知向量表示其他向量 【例3】 【变式3】 1. 2. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_____． 题型四：共线向量定理 【例4】 【变式4】 1. 2. 题型五：向量数乘运算的应用 【例5】 【变式5】 1. 2. 题型六：向量数乘运算的几何应用 【例6】在△ABC中,D为BC上的一点, ,若=+,则D为BC的几等分点 (　 ) A.二等分点 B. 三等分点 C. 四等分点 D. 五等分点 变式：在△ABC中,D为AB的中点,G为CD上一点,若=+λ,则λ的值为 (　 ) A. B. C. D. 【例7】已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 =+λ(λ∈[0,+∞)),则动点P的轨迹一定经过△ABC的 (　 ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 变式1：已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 =+λ(λ∈[0,+∞)),则动点P的轨迹一定经过△ABC的 (　 ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 变式2：已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点.若2++=0,试判断的比值,并说明理由; 题型七巩固提高：利用向量知识解决几何问题 【例8】在△ABC中,D为AC的中点,F为BD的中点，判断E是BC的几等分点？ 变式：在△ABC中,D为AC的三等分点且CD=2AD, E为BC五等分点且３ＢＥ＝２ＥＣ，判断F是AE的几等分点？ 五、随堂小练 1．已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 2．已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在中，为边上的中线，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$