江苏省南京师范大学附属中学2024届高三下学期第二周周测数学试卷

南京师大附中2023-2024学年第二学期高三第二周周测 数学 本试卷共19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（    ） A．平均数，中位数 B．平均数，众数 C．中位数，平均数 D．中位数，众数 3．已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（    ） A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最大值，没有最小值 D．既没有最小值，也没有最大值 5．已知数列满足：.若正整数使得成立，则 A．16 B．17 C．18 D．19 6．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，，记数列的前n项和为，设集合，对恒成立，则集合N的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．如图，已知正方体棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点，则（    ） A．满足平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为 C．存在点P满足 D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为 10．抛物线C：的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（   ） A．抛物线的方程为 B．的最小值为6 C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切 D．若过A，B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A，B两点的纵坐标之和最小值为2 11．已知函数及其导函数的定义域为R，若，函数和均为偶函数，则（    ） A．函数是周期为5的周期函数 B．函数的图象关于点对称 C． D．函数的图象关于直线对称 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．集合，，且，则实数 ． 13．底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为 . 14．多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.记.（为自然对数的底数）， ①写出的表达式_______; ②已知方程有两实根，.请写出的取值范围_______. 四、解答题 15．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 16．某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分． (1)若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量． （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； (2)若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）． 17．如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18．已知抛物线C：（p>0），过C的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，当⊥x轴时，|AB|=4. (1)求抛物线C的方程； (2)如图，过点F的另一条直线与C交于M、N两点，设，的斜率分别为，，若（），且，求直线的方程. 19．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)若当时，恒成立，求实数a