4.3.1等比数列的概念及其通项公式课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 及其通项公式 第一课时 1.等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 等差数列的通项公式 3.它的通项公式是什么？ 2.递推公式是什么？ 等差数列的符号语言： (是常数, 且) (是常数, ) [问题1]类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 古巴比伦人用60进制计 数，这里转化为十进制． 情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上 记录了下面的数列： ，， ① ，，， ② ，，，. ③ 情境2：《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 情景 情境3：在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是，， ⑤ 情境4：某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. . ⑥ 情景 ，， ① ，，， ② ，，，. ③ ④ ，， ⑤ . ⑥ [思考2]类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 探究 通过除法运算探究以上数列的取值规律． 取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9． 共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 思考2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗? 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 ． (显然q≠0） 等比数列的项，公比q有无条件限制？ 1.等比数列的定义 递推关系： 常被用来证明等比数列 1.等比数列的定义 追问1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？ 追问2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ 追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 常数列一定是等差数列，公差为0； 非零常数列是等比数列，公比为1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. 等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0 如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列； 0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列； [练习1](P31)判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. (5) 0,1,2,4,8,… (6) 2,0,2,0,2,… (7) 1,a,a2,a4,a8,… a≠0时，是等比数列，公比为a a=0时，不是等比数列 所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号 巩固：等比数列的定义 2.等比数列的通项公式 类比 不完全归纳法得 an=a1+(n-1)d 不完全归纳法得： 类比 累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2 [思考3]等比数列的通项公式an＝a1qn-1是由等比数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？ 累乘法得： 证：根据等比数列的定义： （当n=1时等式也成立） （迭代法） [思考3]等比数列的通项公式an＝a1qn-1是由等比数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？ 3.等比数列的通项公式 3.等比数列的通项公式 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示． 等比数列的通项公式与指数函数的关系 反之，任给函数(为常数，，，且)，则，，，，构成一个等比数列，其首项为，公比为. [思考5]类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性. 等比数列的通项公式与指数函数的关系 巩固：等比数列的通项公式 巩固：等比数列的通项公式 巩固：等比数列的通项公式 2.等比中项 等差中项 等比中项 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项 定义 a，A，b成等差数列 a，G，b成等比数列 关系 [思考3]类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 2.等比中项 [思考]这时a，b的符号有什么特点？