专题：数列求和课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.5.2 专题：数列求和 数列求和的常见方法 1.公式法（已知等差或等比数列或特殊数列） 2.错位相减法 3.裂项相消法 4.分组求和法 5.并项求和法 6.倒序相加法 1.公式法 使用时 注意项数 需用数学归纳法证明 知a1, d, n 知a1, an, n 知a1, q, n 知a1, an, q 证明见P47 2.错位相减法 齐次式 错位相消 2.错位相减法 齐次式错位相减 得等比数列求和 巩固：错位相减法 ③等比数列求和(注意项数) ①写Sn与qSn ②齐次式 错位相减 ④同除以1－q写出Sn 方法归纳：错位相减法 (1)主要适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，如：{n·3n}、{(2n＋1)·4n}、{} (2)步骤：①写出“Sn”与“qSn”的表达式; ②两式相减，左边为(1－q)Sn，右边q的同次式错位相减； ③转化为等比数列前n项和公式求和，注意项数； ④同除以1－q写出Sn. (3)易错点：①注意错位相减后所剩的项； ②注意等比数列求和的项数是n或n-1等； ③若等比数列的公比为参数，应分q=1和q≠1两种情况. 巩固：错位相减法 巩固:错位相减法 [练习3]数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝1，bn＋1＝an＋1－an，bn＋1＝3bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝bn·log3(2an＋1)，求数列{cn}的前n项和． 解：(1)由bn＋1＝3bn得{bn}是以3为公比的等比数列，b1＝1，∴bn＝b1qn－1＝3n－1， 所以an＋1－an＝bn＋1＝3n，即an－an－1＝3n－1(n≥2)， 巩固:错位相减法 [练习3]数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝1，bn＋1＝an＋1－an，bn＋1＝3bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝bn·log3(2an＋1)，求数列{cn}的前n项和． 解：(1)∵Sn＝2an－n， 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1. 当n≥2时，Sn＝2an－n①， 所以Sn－1＝2an－1－n＋1②， [练习4]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(2n＋1)(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 巩固:错位相减法 解：(2)因为bn＝(2n＋1)·2n ∴Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ∴2Tn＝ 3·22 ＋ 5·23 ＋ 7·24 ＋ … ＋ (2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ∴两式相减得－Tn＝6＋2(22＋23＋24＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1， ∴Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1. 巩固:错位相减法 [练习4]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(2n＋1)(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 3.解：(1)∵数列{an}是等差数列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝3a1+6d=6＋6d＝18，解得d＝2， ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. [练习5].已知数列{an}是等差数列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn. 3.裂项相消法 常见裂项公式： 3.裂项相消法 常见裂项公式： 3.裂项相消法 放缩法 ①将分式型的通项an进行裂项(注意配平系数保持等价)； ②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 3.裂项相消法 3.裂项相消法 巩固：裂项相消法 巩固：裂项相消法 (法1) (法2) 2.裂项相消法 [练习8]已知数列 是公比为4的等比数列，且满足a2, a4, a7成等比数列，求数列 的前n项和Tn. 4.分组求和法 ①适用于求数列{an±bn}的前n项和,其中{an},{bn}为等差数列或等比数列或或其他已知求和方法的特殊数列. 4.分组求和法 课本P41-7 巩固：分组求和法 课本P41-11 巩固：分组求和法 4.分组求和法 ①适用于求数列{an±bn}的前n项和,其中{an},{bn}为等差数列