2024年中考数学专题复习：圆与相似三角形综合相关证明

2024年中考数学专题复习: 圆与相似三角形相关证明 1.如图,点是直径延长线上一点,与相切于点延长线于点,连接. (1)求证:平分; (2)若,求的半径长. 2.如图,已知中,,以为直径的交于点D,交于点E,连接,相交于点F. (1)求证: (2)若,,求的长. 3.如图,已知内接于,过点的切线交的延长线于点,过点作交于点,连接. (1)求证:; (2)过点作交的延长线于点,当时,求的长. 4.如图,为直径,为上一点,的平分线交于点,过点作的延长线于点,直线与射线交于点. (1)求证:为切线; (2)若,,求的长. 5.如图,为的直径,点为上一点,和过点的切线相互垂直,垂足为. (1)求证:平分; (2)交于点,若,求的长度. 6.等腰内接于.点是劣弧的动点,连接与相交于点. (1)如图1,若, ①求的度数; ②若 ,求的值. (2)如图2,当刚好过圆心,且时,求的长. 7.如图,四边形内接于,为直径,平分,且的延长线于点E. (1)判断直线与的位置关系,并说明理由; (2)若,,求的半径和的长. 8.如图,是的外接圆,是直径,是过点的切线,,垂足为点. (1)求证:平分; (2)与相似吗?如果不相似,请说明理由;如果相似,请写出对应线段的比例式. 9.如图,为的直径,C是圆上一点,D是的中点,弦,垂足为点F. (1)求证:; (2)P是弧上一点,,求半径r的长; (3)在(2)的条件下,当是的平分线时,求的长. 10.如图,的直径,弦,连接,以为圆心,长为半径画弧与交于点,连接,,与交于点. (1)请直接写出图中与相等的所有角 _; (2)求的长. 11.如图,已知点都在上,连接平分,与交于点,交的延长线于点,且. (1)判断与的位置关系,并说明理由; (2)求证; (3)若,,当为何值时,为等腰三角形. 12.如图,在中,以为直径作交于点D,过点D作,垂足为E,延长交于点F,是的切线. (1)求证:, (2)若,,求的半径. 13.如图1,为的直径,C为上一点,,与交于点E,点C为的中点. (1)求证:直线与相切; (2)如图2,直径上有一点F,满足,当时,求的值. 14.如图,在中,弦,点B为弧的中点,交于点M,过点B作,交的延长线于点E,及其延长线分别交,于点N,F. (1)求证:是的切线; (2)求证:; (3)若,求的值. 15.如图1,在正方形中,为边上的动点(与点不重合),点在的外接圆上,且在正方形内部,是的中点,圆的半径为. (1)证明为等腰直角三角形 (2)如图2,连接过点作于,求的长 (3)如图3,若为的一个四等分点,点在的外接圆上,,求的长 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.(1)证明:如图,连接, 为的切线, , , , . . 又, . , 即:平分; (2)解:在中,, , , , , , ,即, , 的半径为5. 2.(1)解:∵为直径, ∴, 又∵, ∴; (2)∵是的直径, , , , 在 中,,, , ,, , ,即, 解得, , , ,即, . 3.(1)证明:连接, 是的切线, . , , . (2)解:由(1)得. . , , 即, (负值舍去). , 为等腰直角三角形, . 4.(1)证明:连接, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵的平分线交于点, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴为切线. (2)解:连接, ∵为直径, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, 解得, ∴, 设, ∵, ∴, ∴, ∴, 解得, 故. 5.(1)证明:连接, ∵是的切线, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴平分; (2)解:连接, ∵四边形内接于, ∴, ∵, ∴, ∵是的直径, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴,即, 解得,, ∴. 6.(1)解:①, , 在和中,,则, , , , 在等腰中,,则, ; ②由(1)可知, , 设, 由(1)中可知, ,即,解得, , 同理由(1)可知, ,即,解得, ; (2)解:, 设,则, 刚好过圆心, , 在中,, , , ,即,解得,, , , ,即,解得, 在中,由勾股定理可得,则,解得(负值舍去), . 7.(1)直线与相切,理由如下: 连接, ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的半径, ∴是的切线. (2)过点O作于点H, ∴, ∵,,, ∴四边形是矩形, ∴,, ∴在中,, ∴的半径长是5, ∴ ∴, ∵是的直径, ∴,, ∴, ∵, ∴, ∴,即, ∴. 8.(1)解:连接, ∵是过点的切线, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴平分; (2)解:∵是的外接圆,是直径, ∴, ∴, ∴, ∴. 9.(1)解:∵D是的中点, ∴, ∵且