2024年中考数学专题复习：圆与锐角三角函数综合相关证明

2024年九年级中考数学专题复习： 圆与锐角三角函数综合相关证明 1．如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F． (1)求证：； (2)P是弧上一点，，求半径r的长； (3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 2．如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，经过上一点P，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．如图1，四边形内接于，对角线与交于点，点在上，． (1)求的度数． (2)如图2，作于点与交于点为中点，求证：． (3)在（2）的条件下，． ①若的面积是面积的3倍，求的长． ②如图3，当圆心在高上时，求的半径． 4．如图，是的直径，C为下方半圆上一动点，交于点D． (1)求证：； (2)已知半径为r，设，求x与y的关系式； (3)点P为上方圆外一点，且，连结，交上半圆于点E，已知当时，，求的值． 5．如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若， ①求的长； ②求的半径． 6．如图，边长为的等边是的内接三角形，D是上一点（点D与点B、C不重合），相交于点E． (1)______°，的半径为_______； (2)当时（点O在的下方）． ①求的长； ②点F、G分别在射线、线段上，．若，求的长． 7．如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点 (1)求证：； (2)若，求的长度． 8．如图，在中，，以为半径的与相交于点E，与相切于点D (1)求证：平分； (2)已知，，求的半径r． 9．如图，是的直径，是的弦，是延长线上一点，过点作交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 10．如图，为的直径，点C为上方上一点，点D为延长线上一点，连接交于点E，垂足为H，交于点F． (1)求证：． (2)若． ①若，求的长； ②若点A是线段的中点，求此圆的半径． 11．如图，是的直径，点D是的中点，，且，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求的长； (3)延长，交于点F，若，求的半径． 12．如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若， ①求的半径的长； ②求的长． 13．如图，已知中，，以为直径的交于点D，与相切，交于点E，连接，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若以，的长为方程两个实数根，求b的值；（若一元二次方程的两个根为，，则，．） (3)求图中以线段，和所围成图形的面积． 14．如图，是的外接圆，点D是弧的中点，过点D作的平行线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)设． ①求的值；（用含n的代数式表示） ②若，，求的长． 15．如图1，中，，，延长到点D，使．点P是边上一点，以点P为圆心、长为半径作，交于点E，设． (1)如图2，点Q是射线上的一点，，当点Q在上时， ； (2)x为何值时，与相切？ (3)若与的三边有两个公共点，直接写出x的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， 解得，经检验，是方程的根， ∴的半径为； （3）解：如图，过点B作交于点G，    ∴， ∵的半径为，为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（1）证明：连结，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为1． 3．（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明: ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）①由（2）知: ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图， 作于， 作直径，连接， ， ， ， 由①知: ， ， ， ， ， 设 ，则， ， ， ， ， ， ， ， , , , ∴的半径为： ． 4．（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接，与交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是半径，， ∴， 在和中， 由勾股定理得， ∵， ∴，即，整理得． （3）解：如图：连接， 把，代入，得，解得（不合题意，舍去），， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中，