第一章 三角形的证明 复习课 学习任务单 2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 复习课 复习目标 1.能说出等腰(等边)三角形的性质和判定,并能熟练应用. 2.知道直角三角形的有关性质,会判定两个直角三角形全等. 3.知道线段的垂直平分线、角平分线的性质与判定,并会应用它解决问题. 4.能说出命题与逆命题的概念,会用反证法证明简单问题. ◎重点:等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质与判定的证明和应用. 预习导学 体系建构 请你阅读本章的知识网络图. 核心梳理 1.等腰三角形 性质:等腰三角形的两个底角相等,即　 　;等腰三角形　 　的　 　互相重合,两底角的平分线　 　,两腰上的中线和高分别相等.  判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形,即　 　.  2.等边三角形 性质:等边三角形的三条边、三个角都相等,并且每个角都等于60°;等边三角形的三条角平分线、中线和高都　 　.  判定:　 　都相等的三角形是等边三角形;有一个角是　 　或腰和底　 　的等腰三角形是等边三角形.  3.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的　 　;　 　和　 　对应相等的两个直角三角形全等,简称为　 　.  4.线段的垂直平分线. 性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段　 　的距离相等;  判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的　 　上;  定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,且这一点到　 　的距离相等.  5.角平分线 性质定理:角平分线上的点到这个角的　 　的距离相等;  判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的　 　上;  定理:三角形三个角的平分线相交于一点,且这一点到三条边的距离　 　.  【答案】等边对等角　顶角　平分线、底边上的中线和高　相等　等角对等边 2.相等　三个角或三条边　60°　相等 3.一半　斜边　一直角边　HL 4.两个端点　垂直平分线　三个顶点 5.两边　平分线　相等 合作探究 专题一 等腰三角形的性质 1.如图,在△ABC中,AB=AC,在AB上取点D,在AC延长线上取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点G.求证:DG=GE. 【答案】1.证明:如图,过点D作DF∥AC交BC于点F.∵DF∥AC,∴∠DFB=∠ACB. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠DFB.∴DB=DF. ∵BD=CE,∴DF=CE.∵DF∥CE, ∴∠DFG=∠ECG. ∵∠DGF=∠EGC,∴△DFG≌△ECG(AAS),∴DG=GE. 专题二 反证法 2.求证:在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等. 【答案】2.证明:假设在一个三角形中,这两个角所对的边相等,那么根据等边对等角,它们所对的两个角也相等,这与已知条件相矛盾,说明假设不成立,所以原命题正确. 专题三 直角三角形全等的判定 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,求证:CD⊥BE. 【答案】3.证明:∵DE⊥AB,∴∠BDE=90°, 在Rt△DEB与Rt△CEB中,BD=BC,BE=BE, ∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL),∴DE=EC. 又∵BD=BC,∴E、B在CD的垂直平分线上,即BE⊥CD. 专题四 线段的垂直平分线性质及应用 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,求证:BM=MN=NC. 方法归纳交流　证明三条线段相等,可转化为证明和它们相等的线段组成的三角形为　 　三角形.  【答案】4.证明:如图,连接AM、AN,∵AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F, ∴BM=AM,CN=AN,∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C, ∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°, ∴∠BAM+∠CAN=60°,∠AMN=∠ANM=60°, ∴△AMN是等边三角形,∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC. 方法归纳交流 等边 专题五 角平分线的性质及应用 5.在高速公路l1两侧、l2同侧有两个村庄A,B,如图,高速公路管理处要建一处服务区,按照设计要求,服务区到两个村庄A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,符合条件的服务区C有　 　处.  第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$