精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题

2023-2024学年度北京师大附中高三开学测试 数学 2024.2 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线实轴长为2，且与椭圆的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线 C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线 8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 9. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 10. 已知正方体的棱长为2，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题： ①若点总满足，则动点的轨迹是一条直线； ②若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线； ③若点到直线的距离与到点的距离之和为2，则动点的轨迹是椭圆. 其中正确命题个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若复数，则________. 12. 函数的值域为________． 13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______． 14. 在中，，，． （1）若，则________； （2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个． 15. 项数为有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中．给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则满足条件的数列有4个； ③存在的数列； ④所有满足条件的数列中，首项相同． 其中所有正确结论的序号是_____________________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在三棱柱，侧面正方形，面平面，，分别为的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角成角的余弦值． 17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在． （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 18. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 （1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； （2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望； （3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 19. 已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率． 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若区间上存在唯一零点，则． 21. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． （1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； （2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最