第06讲 解三角形的实际应用举例（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第06讲 解三角形的实际应用举例（精讲） ①距离测量问题 ②高度测量问题 ③夹角测量问题 一、解三角形的实际应用 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． 2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 3.方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 4.坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 二、解三角形应用题的一般步骤 题型一：距离测量问题 解题策略 测量距离的基本类型及方案 类 型 A,B两点间不可通或不可视 A,B两点间可视,但有一点不可达 A,B两点 都不可达 图 形 方 法 先测角C,AC=b,BC=a,再用余弦定理求AB 以点A不可达为例,先测角B,C,BC=a,再用正弦定理求AB 测得CD=a, ∠BCD,∠BDC, ∠ACD,∠ADC, 在△ACD中用正弦定理求AC; 在△BCD中用正弦定理求BC; 在△ABC中用余弦定理求AB 【例1】已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（    ）． A． B．40 C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】解：由图所示：由题意可知：，，， 由正弦定理可知：， 所以，所以， 即此时，两船相距； 故选：B 一、单选题 1．（2024·全国·高一假期作业）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024上·浙江衢州·高一统考期末）根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·全国·高一假期作业）老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（    ） A．60s B．80s C．100s D．120s 4．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 5．（2024下·全国·高一专题练习）为运输方便，某工程队将从到修建一条湖底隧道，如图，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到的距离为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·全国·高一假期作业）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．    7．（2024·全国·高一假期作业）萧县的萧窑､淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况､时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（参考数据：取） 8．（2024·上海·高一假期作业）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为 m．    题型二：高度测量问题 策略方法 高度问题的求法 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC=a,∠BCA=α,AB=a·tanα