2024年高考数学压轴题综合训练（一）

2024年高考数学压轴题综合训练（一） 1．11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额. (1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率. (2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元､60元的2种球组成，或由标有面值30元､50元､70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由. 2．已知函数，其中． (1)当时，证明：； (2)若对任意，都有，求k的取值范围． 3．已知函数， (1)当时，求在区间上的值域； (2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：. 4．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面ABCD，且，过棱PC的中点E，作交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE． (1)证明：平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； (2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值． 5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过三点中的两点. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，的焦点为，过的直线与交于两点，过的直线与交于两点，点都在第二象限，记直线的倾斜角分别为，且.若直线与直线交于点，不同于点的点满足轴，当时，设的面积分别为，求的取值范围. 6．如图，经过原点O的直线与圆相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D． (1)当点B坐标为时，求直线的方程； (2)记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标； (3)求四边形的面积S的取值范围． 7．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 8．已知函数．（是自然对数的底数） (1)若，，求不等式的解集； (2)若，证明：对任意，成立； (3)若，试讨论函数的零点个数，并说明理由． 9．已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．    (1)如图1所示，已知|，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围． 10．对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点. (1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点. (2)已知函数， （Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点； （Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围. 11．在平面直角坐标系中，是双曲线位于第二象限左支上一动点，过点作直线交轴正半轴于点，交双曲线右支于，再过点作直线交双曲线右支于，总有，记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，且．当三点共线时．求证： (1)为常数； (2)为定点，并求其坐标． 12．如图是函数的部分图象,其中,.其中为图象最高点,为图象与轴的交点,且为等腰直角三角形,,______.（从下面三个条件中任选一个,补充在橫线处并解答） ①；②是奇函数；③ (1)求函数的解析式； (2)设,不等式对于恒成立,求的取值范围. 13．设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前和为，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列. 求. 14．如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，． (1)当时，求平面与平面的夹角大小； (2)若平面，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)选择方案1，理由见解析 【分析】（1）先求得4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球和顾客获得的消费券的总额为