2024年高考数学压轴题综合训练（二）

2024年高考数学压轴题综合训练（二） 1．假设市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为，阴天的概率为；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为，阴天的概率为；若前一天为阴天，则第二天晴天的概率为，下雨的概率为；已知市4月第1天的天气情况为下雨. (1)求市4月第3天的天气情况为晴天的概率； (2)记为市四月第天的天气情况为晴天的概率， （i）求出的通项公式； （ii）市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议. 2．在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程. (1)试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程； (2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值. 3．已知，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论. (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若存在，使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 5．在如图所示的几何体中，平面平面，记为中点，平面与平面的交线为． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系为上一点，求当最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值． 6．函数 (1)已知在上存在零点，求实数a的取值范围； (2)若在定义域上是单调函数，满足，证明：． 7．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知，求证：当时，恒成立. 8．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点. (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 9．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)若函数在上单调递减，求实数的值； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 10．已知函数有且只有一个零点．设对任意，证明：不等式恒成立． 11．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)用表示出； (2)证明： 12．若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 13．定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列． (1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由； (2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列； (3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：． 14．给出下列两个定义： I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”. II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质： ①；②，其中为两个新的函数，是的导函数. 我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”. (1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”； (2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论； (3)已知函数. ①若的“自导函数”是，试求的取值范围； ②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)（i）；（ii）建议在四月第27天对种子进行特殊处理 【分析】（1）由题意可确定前一天天气为晴，第二天为晴或宇或阴的概率以及前一天天气为雨，第二天为晴或雨或阴的概率以及前一天天气为阴，第二天为晴或雨或阴的概率，由此根据第一天的天气情况，即可求出第二天每种情况的概率，即可求出第3天晴天的概率； （2）（i）记分别为市四月第天的天气情况为晴天，雨天，阴天的概率，依题意可求出递推关系式，构造等比数列，即可求得的通项公式； （ii）结合数列的单调性，可确定四月份天气为晴的最大概率是第几天吗，由此可提出合理建议. 【详解】（1）依题意，可列举如下概率：前一天晴，第二天为晴雨阴； 前一天为雨，第二天为晴，雨，阴；前一天为阴，第二天为晴，雨阴， 记分别为市四月第天的天气情况为