16.3 二次根式的加减 讲义-2023-2024学年八年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

16.3 二次根式的加减 1.理解并掌握二次根式加减法的运算法则，并能运用法则对二次根式进行加减运算。 2.掌握同类二次根式的概念，能够合并同类二次根式。 3.能够进行二次根式的加减混合运算和二次根式加减乘除混合运算。 知识点一 二次根式的加减 1.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。 【注意】 ①同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。 ②合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，只需把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。 2.二次根式加减法的一般步骤如下： ①化：将每一个二次根式化成最简二次根式。 ②找：找出其中的同类二次根式。 ③合并：合并同类二次根式。 【注意】 在进行二次根式的加减时，易出现以下几个方面的错误： ①去括号时符号错。 ②合并同类二次根式时易漏掉系数为1的二次根式。 ③把不是同类二次根式的根式进行了合并，从而导致出错。 题型一 同类二次根式 【例题】若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值为 ． 【即学即练】若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 题型二 二次根式的加减运算 【例题】观察：，，， 计算：= ． 【即学即练1】已知，是正整数，若是整数，则满足条件的有序数对为 ． 【即学即练2】化简 知识点二 二次根式的加减混合运算 1.二次根式的加减，就是合并同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变。 3.进行二次根式的加减混合运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。 【注意】二次根式的加减混合运算结果应写成最简结果或几个被开方数不相同的二次根式的和。 4. 二次根式的混合运算 (1)二次根式的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②有括号时，要先算括号里面的。 (2)说明： ①运算过程中一定要注意符号； ②运算结果一定要化为最简形式。 题型三 二次根式的混合运算 【例题】计算： (1)； (2)． 【即学即练1】计算： (1)； (2)． 【即学即练2】计算： (1) (2) 题型四 分母有理化 【例题】任务一：阅读材料 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 像这样，把代数式中分母化为有理数的过程叫做分母有理化． 任务二：解决问题 将下列式子进行分母有理化：；． 【即学即练1】计算：． 【即学即练2】阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 化简：． 题型五 已知字母的值化简求值 【例题】阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为： ∵ ∴，，∴原式 (1)若 求： 的值； (2)若 求： 的值． 【即学即练1】已知，求的值． 【即学即练2】请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：. 把作为整体代入：得 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)己知，求代数式的值； (2)已知 ，求代数式的值． 题型六 已知条件式化简求值 【例题】已知，那么 ． 【即学即练1】若，，则的值为 ． 【即学即练2】若，则化简 ． 题型七 比较二次根式的大小 【例题】比较大小 （用，，号填写）． 【即学即练1】比较大小： (填“”、“”或“”） 【即学即练2】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【探究一】分母有理化 综合与实践： 根据平方差方式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式：；第2式：； 第3式：；第4式：； …… (1)请写出第n个式子； (2)若，求n的值； (3)请说明：． 【探究二】二次根式的新定义问题 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题： (1)________； (2)计算：； (3)已知实数，满足行列式，则代数式的值． 【探究三】二次根式的混合运算 材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简