16.2 二次根式的乘除 讲义-2023-2024学年八年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

16.2 二次根式的乘除 1.理解和掌握二次根式的乘法法则并能运用乘法法则进行运算。并掌握积的算术平方根的性质。 2.理解和掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 3.掌握最简二次根式的概念并能够对二次根式进行化简。 知识点一 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则(性质3)：二次根式的乘法就是把被开方数相乘，二次根号不变，即 。 2. 积的算术平方根的性质 （1）。 （2）用语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 （3）运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。 题型一 二次根式的乘法 【例题】已知的整数部分为a，小数部分为b，则= 【即学即练1】计算： 【即学即练2】已知，，则的值为 ． 知识点二 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则如下： ①数学表达式：如果，那么。 ②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变。 2.在二次根式的除法中，条件 与二次根式乘法的条件是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式只能是正数，否则除法法则不成立。 【注意】（1）二次根式的除法法则中的 a，b既可以代表数，也可以代表式子。 （2），即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除。 3. 商的算术平方根的性质 （1）数学表达式：如果，那么 。 （2）语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 （3）运用商的算术平方根的性质，可以把二次根式化为最简形式。 【注意】①要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式 及 。 ②根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号；如果符号是负的，那么负号要留在根号外。 4.最简二次根式的概念 （1）满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。 ①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 （2）对最简二次根式的理解： ①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1。 ③分母中不含根号，如 也不是最简二次根式，还需化简为。 5. 二次根式的乘除混合运算 （1）运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式的乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的。 （2）公式、法则整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用。 （3）运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用。 【注意】分配律是乘法对加法的分配律，而不是除法对加法的分配律。 （4）在进行二次根式的运算时常见的错误： ①忽略计算公式的条件。 ②不注意式子的隐含条件。 ③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上。 ④误认为形如的式子是能开得尽方的二次根式。 6. 二次根式的化简 （1）化二次根式为最简二次根式的方法如下： ①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式。 ②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来。 （2）口诀：“一分、二移、三化”。 “一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式。 “二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上。 “三化”即化去被开方数的分母。 （3）化去分母中的根号： ①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式。 ②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式：与，与，与，与。 ③化去分母中的根号时，分母要先化简。 在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式。 题型二 二次根式的除法 【例题】计算： ． 【即学即练1】计算并把结果化为最简二次根式： ． 【即学即练2】计算：＝ ． 题型三 二次根式的乘除混合运算 【例题】计算：（）． 【即学即练1】计算：． 【即学即练2】计算：． 题型四 最简二次根式的判断 【例题】在、、、中最简二次根式是 ． 【即学即练1】在二次根式中，最简二次根式是 ． 【即学即练2】若最简二次根式与可以合并，则 ． 题型五 化为最简二次根式 【例题】将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（，，）． 【即学即练1】化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【即学即练2】化简 （1） （2