16.1 二次根式 讲义-2023-2024学年八年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

16.1 二次根式 1.理解和掌握二次根式的概念以及二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的性质，能够运用二次根式的性质进行求解。 知识点一 二次根式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式。其中，“”称为“二次 根号”，a叫开方数。 2.对于的讨论应注意下面的问题： ①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的被开方数a可以是数字，也可以是整式、分式等。 ②式子只有在条件时才叫二次根式。 即：是为二次根式的前提条件。 式子就不是二次根式，但式子 是二次 根式。 实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果。 3.二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的(即）， 否则无意义。 题型一 求二次根式的值 【例题】若实数x，y满足，求的值． 【即学即练1】当时，求二次根式的值． 【即学即练2】若，，求的值． 题型二 求二次根式中的参数 【例题】若是整数，则正整数的最小值是 ． 【即学即练1】若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【即学即练2】已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ． 题型三 二次根式有意义的条件 【例题】使式子有意义的x的取值范围是 ． 【即学即练1】使分式有意义的的取值范围是 ． 【即学即练2】若在实数范围内有意义，则的取值范围是 知识点二 二次根式的性质 1.是一个非负数。 既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即。我们把这个性质叫作二次根式的非负性。 2.。由于是一个非负数，表示非负数 a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即。 3. 由算术平方根的定义，可得 表示非负数 a 的平方的算术平方根等于 a。 【注意】（1） 的前提条件是而中的 a 为一切实数。 （2），，是3个重要的非负数，即，， 在解题时应用较多。 （3） 成立的条件是，否则不成立。 （4） 可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式。 （5）在利用 进行化简时，要先得出，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方。 题型四 利用二次根式的性质化简 【例题】计算： (1)； (2)． 【即学即练1】计算下列各题 (1)； (2). 【即学即练2】计算： (1)； (2)． 【例题】实数，在数轴上的位置如图所示． (1)化简：__________，__________． (2)先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根． 【即学即练1】已知如图，化简代数式：． 【即学即练2】若a，b，c为的三边长，化简：. 题型五 复合二次根式的化简 【例题】形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【即学即练1】已知，，化简 ． 【即学即练2】观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ． 【探究一】 二次根式概念的综合探究 阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且，当时，有最小值． 请根据上述方法， 解答下列问题： (1)若，则的值是___________． (2)求证：无论取何值都有意义； (3)若代数式的最小值为2，求的值 【探究二】 二次根式性质的综合应用 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 【探究三】 二次根式有关的规律探究问题 观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… (1)请直接写出第6个等式：_________． (2)根据上述规律猜想第n个等式：_________（用含n的等式表示），并给予证明． (3)利用（2）的结论计算：． 一、单选题 1．已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．适合的正整数a的所有值的平方和为（    ） A．13 B．14 C．5 D．16 3．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简（   ） A． B． C． D． 4．若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（    ）． A．1 B．2 C． D． 5．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D．的平方根是 6．已知是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．若（为正整数），则下列说法正确的个数是（