4.1.3三角形的中线、角平分线课件2023-2024学年 北师大版数学七年级下册

4.1.3 三角形的中线、角平分线 七年级下 北师版 1.了解三角形的角平分线、中线的概念并掌握其性质；2.能用工具准确画出三角形的角平分线、中线； 3.能根据三角形角平分线、中线的性质解决实际问题. 学习目标 难点 重点 问题1：小明和哥哥拿着零花钱去买了一块三角形的蛋糕，两人决定平分这块蛋糕，且平分后的蛋糕依旧为三角形，你能帮助他们吗？ 平分蛋糕意味着需要把三角形平分成两块面积一样的三角形. 新课引入 问题2：小明和哥哥玩游戏，用一支笔支起一个均匀的三角形纸片最快找到支点即可完成挑战，如何确定支点？ 支点需要在三角形纸片质量分布的中点处. 我们的猜测是正确的吗？这节课我们一起来研究一下！ A B C D 如图，在△ABC中，取BC边的中点D，连接AD，线段AD为△ABC的BC边上的中线. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 新知学习 思考 （1）三角形的中线有什么特点？ A B C D 根据三角形面积计算公式，面积= 底×高 如图，△ABC与△ADC的高相同，底BD=DC，所以S△ABD=S△ADC. 即三角形的1条中线将三角形分成两个面积相同的三角形. 现在你知道如何帮小明和哥哥分蛋糕了吗？ (2)在纸上画出一个锐角三角形，画一画共有几条中线，它们有怎样的位置关系？与同学进行交流. 锐角三角形有3条中线，且相交于三角形内一点. 如图，AD左右2个三角形面积相等，BE左右2个三角形面积相等， CF左右2个三角形面积相等. 三角形3条中线的交点是三角形的重心，也是可以用铅笔支起三角形的点. 思考 (3)直角和钝角三角形的中线也是如此吗？尝试折一折，画一画. 三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心. 思考 例1 如图所示,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,求△ACD的周长 解：因为AD是BC边上的中线, 所以BD=CD, 所以△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC. 因为△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm, 所以△ACD的周长为25-6=19(cm). 方法总结：根据三角形中线的定义,把三角形周长的差转化为已知两边AB,AC的长度的差是解题的关键. 探究 你还记得如何平分一个角吗？ B A C A B C A D 用圆规作角平分线 对折作角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，线段AD为△ABC的一条角平分线. 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 1 2 归纳 ∠1=∠2 做一做 准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个，分别画出三角形的3条角平分线，你能发现什么？ 三角形的3条角平分线交于一点，这一点叫内心. 锐角三角形的角平分线 直角三角形的角平分线 钝角三角形的角平分线 解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， 所以∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 例2 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C 1.填空： (1)线段AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD= = ； (2)线段AE是△ABC的中线，那么BE= = BC. ∠DAC ∠BAC EC 随堂练习 2.如图，在△ABC中,，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误. ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H （1）AD是△ABE的角平分线( ) （2）BE是△ABD边AD上的中线( ) （3）BE是△ABC边AC上的中线( ) × × × 3.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠ABD的度数. 解：在△ABC中， ∵∠A=50°，∠C=72° ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-50°-72°=58° 又∵BD平分∠ABC ∴∠ABD= ∠ABC= 4.在△ABC中，CD是中线，已知BC－AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求ΔADC的周长. A D B C 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， ∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm， 则BD+CD