1.4角平分线第2课时学习任务单2023-2024学年北师大版八年级数学下册

1.4 角平分线 第2课时 素养目标 1.知道三角形三个内角平分线的性质. 2.会应用角平分线定理解决问题. ◎重点:角平分线定理的应用. 预习导学 知识点一 三角形三个内角平分线的性质   阅读课本本课时“例2”中的内容,思考下列问题. 1.(1)为证明三条角平分线相交于一点,例2证法的思路是什么? (2)“设∠ABC和∠BAC的角平分线相交于点P,证∠BCA的角平分线经过点P.”以上思路证明“三角形的三条角平分线相交于一点”可行吗? 2.已知△ABC中,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且交于点P,若P到边AB的距离为3 cm,△ABC的周长为18 cm,则△ABC的面积为　 　cm2.  归纳总结　三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=　 　.若三角形的周长为C,则三角形的面积S=　 　.  【答案】1.(1)先作出两条角平分线的交点,再证明这个交点在第三条角平分线上. (2)可行. 2.27 归纳总结　m(a+b+c)　mC 知识点二 角平分线定理的应用   阅读课本本课时“例3”中的内容,思考下列问题. 1.(1)在例3中(1)问解法的启发下,你能求出AB的长吗? (2)根据AB的长,在证明AB=AC+CD时,你能想到其他的方法吗?并说明理由. 2.如图,若将上题中条件“Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°”改为“△ABC中,∠C=2∠B”请问上题中的结论是否仍然成立?证明你的猜想. 归纳总结　证明一条较长的线段和两条较短线段相等时,常利用　 　的性质或　 　的方法,将两条较短线段转化到较长的线段上.  【答案】1.(1)能,在Rt△ABC中,AC=(4+4)cm,由勾股定理有AB===×(4+4)=(8+4)cm. (2)能,因为AC=(4+4)cm,CD=4 cm, AB=(8+4)cm,∴AB=AC+CD. 2.解:结论仍然成立. 理由如下:∵AD是∠CAB的角平分线, ∴将△CAD沿AD折叠,使点C落在AB边上的C'处, ∴△ACD≌△AC'D, ∴AC=AC',CD=C'D,∠C=∠1=2∠B. 又∵∠1=∠2+∠B,∴∠2=∠B, ∴C'D=C'B,∴AB=AC'+BC'=AC+CD, 即AB=AC+CD. 归纳总结　角平分线　折叠 合作探究 任务驱动一 如图,已知∠AOB,点M、N.求作一点P,使得它到∠AOB两边的距离相等,且到M、N两点的距离也相等.则点P为　 　.  方法归纳交流　三角形的内角平分线的交点有一个,外角平分线的交点有三个,它们到三条线段的距离都相等. 【答案】∠AOB的平分线和MN的垂直平分线的交点 任务驱动二 如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等. 【答案】证明:如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.垂线段PQ、PM、PN,即点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离. ∵P是∠ABC的平分线BD上的一点,∴PM=PQ. ∵P是∠ACM的平分线CE上的一点,∴PM=PN. ∴PQ=PM=PN.∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. 任务驱动三 如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　 　.  【答案】4∶5∶6 任务驱动四 先阅读下面的材料,然后解答问题: 已知:如图1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是角平分线,交BC边于点D. 求证:AC=AB+BD. 证明:如图1,在AC上截取AE=AB,连接DE,则由已知条件易知,△ADB≌△ADE(SAS), ∴∠AED=∠B=90°,DE=DB. 又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形.∴DE=EC.∴AC=AE+EC=AB+BD. 解决问题:现将原题中的“AD是内角平分线,交BC边于点D”换成“AD是外角平分线,交BC边的延长线于点D,如图2”,其他条件不变,请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系,并证明你的猜想. 方法归纳交流　这种证明一条线段等于另外两条线段之和的方法称为“截长法”.即　 　.  【答案】解:猜想BD=AB+AC. 如图,在CA的延长线上截取AE=AB,连接DE. 则由已知条件易知:△ADB≌△ADE(SAS).∴∠AED=∠ABD=90°,DB=DE, 又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形.∴DE=EC. ∴BD=DE=AE+AC=AB+AC. 方法归纳交流 在较长的线段上截取