1.3 线段的垂直平分线 第1课时学习任务单2023-2024学年北师大版八年级数学下册

1.3 线段的垂直平分线 第1课时 素养目标 1.会证明线段的垂直平分线的性质定理. 2.会判定一条直线是已知线段的垂直平分线. ◎重点:会证明线段的垂直平分线性质定理. 预习导学 知识点一 线段的垂直平分线的性质定理  阅读课本本课时“想一想”之前的内容,思考下列问题. 1.当一条直线MN满足哪些条件时,它就是线段AB的垂直平分线? 2.若P是直线MN上任意一点,则PA与PB有什么关系呢?△PAB是什么三角形? 3.除了课本上所给的证明方法外,你还能想出其他的证明PA与PB关系的方法吗? 归纳总结　 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　 　.  【答案】1.直线MN垂直于线段AB,并且平分线段AB. 2.PA=PB,△PAB是等腰三角形. 3.能,如图,在Rt△PAC中,由勾股定理有PA=,同理 PB=.∵AC=BC,∴PA=PB. 归纳总结　相等 知识点二 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理  阅读课本本课时“想一想”至“随堂练习”之间的内容,思考下列问题. 1.线段的垂直平分线的性质定理的条件是什么?结论呢? 2.你能写出它的逆命题吗? 3.请你完善下列解题过程. 已知:如图,线段AB,P为平面内一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 归纳总结　 到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的　 　上.  【答案】1.条件:线段垂直平分线上一点. 结论:这一点到这条线段两个端点的距离相等. 2.逆命题:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 3.证明:方法一:取AB的中点C,连接PC, ∵AC=BC,PA=PB,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SSS), ∴∠PCA=∠PCB=90°. 即PC垂直AB并且通过线段AB的中点C,所以点P在线段AB的垂直平分线上. 方法二:过点P作已知线段AB的垂线PC. ∵PA=PB,PC=PC. ∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL), ∴AC=BC. 即点P在线段AB的垂直平分线上. 归纳总结　 垂直平分线 合作探究 任务驱动一 阅读课本“例1”的内容,请你用其他方法进行证明. 方法归纳交流　证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有哪两种方法? 【答案】 证明:记AO与BC的交点为D. ∵AB=AC,OB=OC,AO=AO, ∴△ABO≌△ACO(SSS), ∴∠AOB=∠AOC, ∴∠BOD=∠COD. 又∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD, ∴△OBD≌△OCD(AAS), ∴BD=CD,∠ODB=∠ODC=90°, 即直线AO垂直平分线段BC. 方法归纳交流 第一种:根据线段垂直平分线的定义,也就是经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.使用这种方法必须满足两个条件:一是垂直,二是平分. 第二种:可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上,根据两点确定一条直线,就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线. 任务驱动二 在△ABC中,AB=AC,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4,则AD+AE的值为( ) A.6　　　　　　　　　B.10 C.6或14 D.6或10 【变式训练】如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,BE=3 cm,△ACD的周长是13 cm,求△ABC的周长. 方法归纳交流　如何求几条线段长度的和? 【答案】C 【变式训练】 解:∵DE是BC的垂直平分线, ∴BC=2BE=6 cm,BD=CD. ∵AD+DC+AC=13 cm,∴AD+BD+AC=13 cm, ∴AB+AC+BC=13+6=19 cm. 方法归纳交流 利用线段的垂直平分线的性质转化为已知长度的线段再求解. 任务驱动三 在平面直角坐标系中,已知A(-1,3),B(-1,-1).下列四个点中,在线段AB垂直平分线上的点是( ) A.(0,2) B.(-3,1) C.(1,2) D.(1,0) 方法归纳交流　通过观察可知AB平行于　 　轴,则AB的垂直平分线平行于　 　轴,只要计算出AB的　 　的纵坐标,判断答案中纵坐标是否与中点的纵坐标一致即可.  【答案】B 方法归纳交流 y　x　中点 任务驱动四 如图,P是∠AOB的平分线OM上任意一点,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,连接EF.求证:OP垂直平分EF. 方法归纳交流　证明直线是线段的垂直平分线时,可以证明直线上的两点到线段两个端点的距离　 　,则这两点确定的直线就是线