1.1等腰三角形第4课时学习任务单2023-2024学年北师大版八年级数学下册

1.1 等腰三角形 第4课时 素养目标 1.会判定一个三角形是等边三角形. 2.知道含30°角的直角三角形的性质,并能利用其解决简单的问题. 3.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程,逐步养成合情推理的习惯. ◎重点:含30°角的直角三角形性质定理的探究与证明. 预习导学 知识点一 等边三角形的判定   阅读课本“一个三角形满足……”至本页末的内容,并完成下面的问题. 1.一个三角形满足什么条件为等边三角形?请证明. 2.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请你证明自己的结论. 归纳总结　　 　或　 　相等的三角形是等边三角形;有一个角是　 　度或　 　相等的等腰三角形是等边三角形.  【答案】1.(1)三边相等; (2)三个角相等.(证明略) 2.(1)条件1:腰和底相等.条件2:有一个角等于60°. (2)证明思路:等腰三角形有一个角是60°,则其他两个角都是60°.根据等角对等边,可以得到三条边都相等,所以这个等腰三角形是等边三角形. 归纳总结　三条边　三个角　60　腰和底 知识点二 含30 °角的直角三角形的性质 　  阅读课本本节“做一做”至“随堂练习”上面的内容,解决下列问题. 1.完成课本“做一做”中的问题. 2.在你所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系? 3.30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明吗? (1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的　 　等于　 　.  (2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=AB. 归纳总结　在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的　 　等于斜边的　 　.  【答案】1.如图,可以拼成一个等边三角形. 理由:∵△ABC≌△ADC, ∴AB=AD. 又∵Rt△ABC中,∠BAC=30°, ∴∠ABD=60°, ∴△ABD是等边三角形.(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) 2.AB=AD=BD,BC=CD. 3.(1)直角边　斜边的一半 (2)证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∠B=60°. 延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示). ∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°. ∵AC=AC, ∴△ABC≌△ADC(SAS), ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等),∠BAD=60°, ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形), ∴BC=BD=AB. 归纳总结　直角边　一半 合作探究 任务驱动一 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是边BC上的动点,则AP的长不可能是 ( ) A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 【答案】D 任务驱动二 如图,在△ABC中,AB=AC,DA⊥AB,∠BAC=120°,BD=4,求DC. 【变式训练】如图,D是等边△ABC的边BC的中点,DE⊥AC.若AB=4,则CE=　 　.  归纳总结　注意“30°的角所对直角边等于　 　”在直角三角形中的应用.  【答案】解:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°. ∵DA⊥AB,BD=4,∴AD=2. ∵∠DAC=120°-90°=30°, ∴∠DAC=∠C,∴CD=AD=2. 【变式训练】 1 归纳总结　斜边的一半 任务驱动三 如图,在等边三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点, DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,求证:△DEF是等边三角形. 【答案】证明:在等边三角形ABC中,∠A=∠B=∠C=60°, ∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC, ∴∠AEF=∠BFD=∠CDE=30°, ∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°, ∴△DEF是等边三角形. 任务驱动四 如图,O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,与OB、OC分别相交于点E、F.求证:(1)DB=AC;(2)△OEF是等边三角形. 【答案】证明:(1)证法不唯一.∵△DOC和△ABO都是等边三角形,且O是线段AD的中点, ∴OD=OC=OB=OA,∠COD=∠AOB=60°, ∴∠DOB=∠AOC,∴△DOB≌△COA,∴DB=AC. (2)由(1)知△DOB≌△COA,∴∠OAC=∠OBD. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB,∴∠OAC=∠ODB. 又∵∠BOA=∠DOC=60°,OA=OD, ∴△AOE≌△DOF,∴OE