【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题二 函数与导数 第2讲 函数的应用（热点分类突破+真题感悟+突破训练，pdf版）

·25· 专题二 函数与导数 第 2 讲 函数的应用 总序 4 考情解读 (1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式 出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 热点一 函数的零点 例 1 (1)函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是________． (2)已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝    cos πx，x∈[0， 1 2 ]， 2x－1，x∈( 1 2 ，＋∞)， 则不等式 f(x－1)≤ 1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[ 1 4 ， 2 3 ]∪[ 4 3 ， 7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为 f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数 f(x)＝2x＋x3－2 在(0,1)上递增， 且 f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有 1 个零点． (2)先画出 y 轴右边的图象，如图所示． ∵f(x)是偶函数，∴图象关于 y 轴对称，∴可画出 y 轴左边的图象， 再画直线 y＝ 1 2 .设与曲线交于点 A，B，C，D，先分别求出 A，B 两点的横坐标． 令 cos πx＝ 1 2 ，∵x∈[0， 1 2 ]，∴πx＝ π 3 ，∴x＝ 1 3 . 令 2x－1＝ 1 2 ，∴x＝ 3 4 ，∴xA＝ 1 3 ，xB＝ 3 4 . 根据对称性可知直线 y＝ 1 2 与曲线另外两个交点的横坐标为 xC＝－ 3 4 ，xD＝－ 1 3 . ∵f(x－1)≤ 1 2 ，则在直线 y＝ 1 2 上及其下方的图象满足，∴ 1 3 ≤x－1≤ 3 4 或－ 3 4 ≤x－1≤－ 1 3 ，∴ 4 3 ≤x≤ 7 4 或 1 4 ≤x≤ 2 3 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数 的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零 点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合