【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题二 函数与导数 第3讲 导数及其应用（热点分类突破+真题感悟+突破训练，pdf版）

·33· 专题二 函数与导数 第 3 讲 导数及其应用 总序 5 考情解读 (1)导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．(2)利用函数的单调性和最值确 定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用． 热点一 导数的运算和几何意义 例 1 (1)曲线 y＝e －5x＋2 在点(0,3)处的切线方程为________． (2)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是曲线 C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线 C2：x2＋y2＝ 5 2 的一个公共点，若 C1 在 A 处的切线与 C2在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是________． 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A 点坐标 是解题的关键点，列方程求出． 答案 (1)5x＋y－3＝0 (2)4 解析 (1)因为 y′＝e －5x(－5x)′＝－5e －5x，所以 y′|x＝0＝－5， 故切线方程为 y－3＝－5(x－0)，即 5x＋y－3＝0. (2)设 A(x0，y0)，则 C1在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)＝3ax20，C2在 A 处的切线的斜率为－ 1 kOA ＝－ x0 y0 ， 又 C1在 A 处的切线与 C2在 A 处的切线互相垂直，所以(－ x0 y0 )·3ax20＝－1，即 y0＝3ax30， 又 ax30＝y0－1，所以 y0＝ 3 2 ，代入 C2：x2＋y2＝ 5 2 ，得 x0＝± 1 2 ， 将 x0＝± 1 2 ，y0＝ 3 2 代入 y＝ax3＋1(a>0)，得 a＝4. 思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂 直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来 求解． (1)已知函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)且 f(x)＝x2f′( π 3 )＋sin x，则 f′( π 3 )＝________. (2)若曲线 f(x)＝x