【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题五 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法（热点分类突破+真题感悟+突破训练，pdf版）

·107· 专题五 立体几何 第 3 讲 立体几何中的向量方法 总序 14 考情解读 (1)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在 解答题的第①问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题．(2)以多面体(特别是 棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档 题．(3)以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以 及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 热点一 利用向量证明平行与垂直 例 1 如图，在直三棱柱 ADE—BCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形 且互相垂直，M 为 AB 的中点，O 为 DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥平面 BCF； (2)平面 MDF⊥平面 EFCD. 思维启迪 从 A 点出发的三条直线 AB、AD，AE 两两垂直，可建立空间直角坐标系． 证明 方法一 由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， F(1,0,1)，M   1 2 ，0，0 ，O   1 2 ， 1 2 ， 1 2 . (1)OM → ＝   0，－ 1 2 ，－ 1 2 ，BA → ＝(－1,0,0)，∴OM → ·BA → ＝0, ∴OM → ⊥BA → . ∵棱柱 ADE—BCF 是直三棱柱，∴AB⊥平面 BCF，∴BA → 是平面 BCF 的一个法向量， 且 OM⊄平面 BCF，∴OM∥平面 BCF. (2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． ∵DF → ＝(1，－1,1)，DM → ＝   1 2 ，－1，0 ，DC → ＝(1,0,0)， 由 n1·DF → ＝n1·DM → ＝0，得    x1－y1＋z1＝0， 1 2 x1－y1＝0， 解得    y1＝ 1 2 x1， z1＝－ 1 2 x1， 令 x1＝1，则 n1＝   1，