【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的热点问题（热点分类突破+真题感悟+突破训练，pdf版）

·137· 专题六 解析几何 第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题 总序 17 考情解读 (1)本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景， 考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．(2)求轨迹方程也是高考的热点与 重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法， 往往出现在解答题的第①问中． 热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题 例 1 (2013·浙江)如图，点 P(0，－1)是椭圆 C1： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的一个顶点， C1 的长轴是圆 C2：x2＋y2＝4 的直径．l1，l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线， 其中 l1交圆 C2 于 A，B 两点，l2 交椭圆 C1于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1的方程． 思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆 C2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线 l1的斜率为 k，将△ABD 的面 积表示为关于 k 的函数． 解 (1)由题意得    b＝1， a＝2. 所以椭圆 C1的方程为 x2 4 ＋y2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k， 则直线 l1的方程为 y＝kx－1.又圆 C2：x2＋y2＝4，故点 O 到直线 l1的距离 d＝ 1 k2＋1 ， 所以 AB＝2 4－d2＝2 4k2＋3 k2＋1 .又 l2⊥l1，故直线 l2的方程为 x＋ky＋k＝0. 由    x＋ky＋k＝0， x2＋4y2＝4. 消去 y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故 x0＝－ 8k 4＋k2 . 所以 PD＝ 8 k2＋1 4＋k2 .设△ABD 的面积为 S，则 S＝ 1 2 AB·PD＝ 8 4k2＋3 4＋k2 ＝ 32 4k2＋3 4k2＋3＋13 ， 所以 S＝ 32 4k2＋3＋ 13 4k2＋3 ≤ 32 2 4k2＋3· 13 4k2＋3 ＝ 16 13 13 ，当且仅当 k＝± 10 2 时取等号． 所以所求直线 l1的方程为 y＝± 10 2 x－1. 思维升华