2024年中考九年级数学专题复习：（特殊）平行四边形的动点问题综合训练（培优篇）

2024年中考九年级数学专题复习：（特殊）平行四边形的动点问题 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且OP＝t，连结PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ，连结CQ，取CQ中点M． （1）当t＝2时，求Q与M的坐标； （2）如图2，连结AM，以AM、AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM的面积为S． ①用含t的代数式表示S（0t6）． ②当N落在△CPQ的直角边上时，求∠CPA的度数； （3）在（2）的条件下，连结AQ，记△AMQ的面积为，若S＝，则t＝　 　（直接写出答案）． 2． 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（7，5），顶点A，C分别在x轴，y轴上，点D的坐标为（0，1），过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G，且点G不与点C重合，以DG为一边作菱形DEFG，点E在矩形OABC的边OA上，设直线DG的函数表达式为y=kx+b （1）当CG=OD时，求直线DG的函数表达式； （2）当点E的坐标为（5，0）时，求直线DG的函数表达式； （3）连接BF，设△FBG的面积为S，CG的长为a，请直接写出S与a的函数表达式及自变量a的取值范围． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点M从点B出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为.    （1）求的长. （2）当时，求t的值 （3）试探究：t为何值时，为等腰三角形？ 4．如图①，已知点为正方形的对角线的交点，点是对角线上的一个动点（点不与重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接和. （1）求证：； （2）如图②，延长正方形对角线，当点运动到的延长线上时，通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立； （3）若点在射线上运动，，求线段的长. 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒．    （1）线段MP的长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． 6．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，连结BP，过P点作BP的垂线，与过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D，BD与y轴交于点E，设点P运动的时间为t（s）． （1）求证：△ABP≌△QPD； （2）求t为何值时？△PBE为等腰三角形． 7．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm； 请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）． 8．在中，，为平面内一动点，，，其中a，b为常数，且.将沿射线方向平移，得到，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E.连接. （1）如图1，若在内部，请在图1中画出； （2）在（1）的条件下，若，求的长（用含的式子表示）； （3）若，当线段的长度最大时，则的大小为__________；当线段的长度最小时，则的大小为_______________（用含的式子表示）. 9．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°(0＜m°＜180º）得线段PQ． （1）当点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点Q落在边CD上（C点除外），且∠ADB=n°． ①探究m与n之间的数量关系； ②当点P在线段OB上运动时，存在点Q，使PQ=QD，直接写出n的取值范围． 10．如图，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s． （1）设点Q的运动速度为 cm