2024年中考九年级数学专题复习：（特殊）平行四边形的动点问题综合训练（附答案）

2024年中考九年级数学专题复习：（特殊）平行四边形的动点问题 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 2．（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________；    （2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）； （3）如图3，点为内一点（点不在上）过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）；    （4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为．根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）． 3．已知直线y=x＋4与x轴，y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C． （1）试确定直线BC的解析式. （2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发 沿CBA向点A运动(不与C、A重合) ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的 函数关系式，并写出自变量的取值范围. （3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点 N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存 在，请说明理由. 4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒． （1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值； （2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B． (1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； (2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？ 7．如图，长方形中，，现有一动点P从A出发以的速度，沿长方形的边返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒． (1)当时，___________； (2)当t为何值时，连接是等腰三角形； (3)Q为边上的点，且，P与Q不重合，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 8．如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)①______时，四边形是矩形； ②______时，四边形是菱形． 9．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，已知点B（b，0），C（0，c），其中b，c满足|b﹣8