13.4课题学习最短路径问题考点训练课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

人教版 八年级上 第十三章 轴对称 13.4课题学习 最短路径问题 考点训练 如图,l为河岸(视为直线),要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去,则应从河岸l的何处开口才能使水沟最短,找出开口处的位置并说明理由. 1 解:图略. 理由:点到直线之间垂线段最短. 2 【点拨】 过点A作l的垂线,垂线段的长度即为水沟的长度. 2 【教材P85问题1变式】如图,直线l外不重合的两点A,B,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的长度最短,作法为: ①作点B关于直线l的对称点B′; ②连接AB′,与直线l相交于点C,则点C为所求作的点. D 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( ) A.转化思想 B.三角形的两边之和大于第三边 C.两点之间,线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 3 解:边AB的垂直平分线MN如图所示. 如图,在 ABC中,AB=5,BC=4,AC=3. (1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN; 解:如图,点D为MN与BC的交点. ∵MN垂直平分AB,∴AD=BD. ∴ ADC的最小周长为AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=3+4=7. (2)在直线MN上找一点D,使 ADC的周长最小,并求出 ADC的最小周长. 4 如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点, PMN的周长的最小值是5 cm,求∠AOB的度数. 解:分别作点P关于射线OB,OA所在直线的对称点C,D, 连接CD,分别交OA,OB于点M,N, 连接OC,OD,PM,PN,如图所示. ∵点P关于射线OA所在直线的对称点为D, ∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA. ∵点P关于射线OB所在直线的对称点为C, ∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB. 5 【教材P93复习题T15变式】如图,点P为马厩,AB为草地边缘(下方为草地),CD为一河流,牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草,然后到河边饮水,最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线. 解:如图所示. 作法:①分别作点P关于AB,CD的对称点P′,P″; ②连接P′P″,分别交AB,CD于点M,N; ③分别连接MP,NP. ∵点P关于AB、CD的对称点为P′、P″, ∴PM=P′M,PN=P″N. ∴PM+MN+NP=P′P″,即P′P″的长即为最小路程. ∴PM—MN—NP为最佳行走路线. 6 如图,AB是∠MON内部的一条线段,在∠MON的两边OM,ON上各取一点C,D组成四边形ABDC,如何取点才能使该四边形的周长最小? 13 解:如图,作A关于射线OM所在直线的对称点E,再作B关于射线ON所在直线的对称点F,连接EF交OM于C,交ON于D,连接AC,BD,则四边形ABDC即为所求. 拓展:在直线m,n上,分别找两点P,Q,使PA+PQ+QB最小. (1)如图①,点A,B在直线m,n外侧,连接AB,分别交直线m,n于点P,Q; (2)如图②,点A在直线m外侧, 点B在直线m,n内侧,作点B关于 直线n的对称点B′,连接AB′,分别 交直线m,n于点P,Q; (3)如图③,点A,B在直线m,n内侧,分别作点A,B关于直线m,n的对称点A′,B′,连接A′B′,分别交直线m,n于点P,Q. ∴OC=OP=OD,∠AOB=∠COD. ∵ PMN的周长的最小值是5 cm, ∴PM+PN+MN=5 cm. ∴DM+CN+MN=5 cm,即CD=5 cm. 又∵OP=5 cm,∴OP=CD.∴OC=OD=CD, 即 OCD是等边三角形. ∴∠COD=60 .∴∠AOB=30 . $$