8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第3课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版普通高中教科书《数学》 (选择性必修第三册) 第八章 成对数据的统计分析 8. 2 一元线性回归模型及其应用 8. 2. 2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (一)复习旧知 导入新课 令 相关关系的定量刻画 一元线性回归模型 r≈0.886 探究任务 对一元线性回归模型中的参数a和b的值，进行估计。 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 x ：父亲身高 b：斜率参数 Y：儿子身高 a ：截距参数 e ：随机误差 (二)问题引导 深入探究 问题1： 如何估计参数a和b的值？ 相当于寻找一条适当的直线，使各 散点在整体上与这条直线最接近。 【课堂讨论环节】 几何直观化的方法 利用散点图，找出一条直线，使各散点从整体上与 此直线尽可能接近。 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 要求： 有效利用全部测量数据 体现整体误差最小的思想 测量方法可操作 测量结果唯一确定，不会因人而异 (二)问题引导 深入探究 【课堂讨论环节】 利用散点图，找出一条直线，使各散点从整体上与此直线尽可能接近。 位置。 • 他发现一种有效利用全部测量数据的代数方法，使得数据组的整体 偏差达到最小。并且，他还考虑了误差分析问题。 • 最小二乘法理论阐述了最小二乘法在缩小误差方面的优势，被广泛应 用于统计数据分析领域。 • 1803年，德国数学家高斯运用最小二乘法，计算出谷神星出现的准确 谷神星不见了 ！ 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 高斯(Gauss,1777- 1855) (二)问题引导 深入探究 问题2：如何用数学的方法来刻画“各散点在整体上，与这条直线最接近”？ 追问： 能否通过比较 的大小，寻找最佳直线？ 不能，正负抵消 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 设满足一元线性回归模型的n对样本数据为 得 由 O y x 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度” 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 几何解释：点(xi , • 当ei = 0时，表示点(xi , yi)在直线上 ( xi , ( xi , bxi +a ) (x1 , y1) } (x2 , y2) (二)问题引导 深入探究 刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度” 数形结合的思想 yi)到直线的竖直距离 (xn , yn) x yi ) O y • 体现统计方法从“统计直观”到“数学表达”的转化过程。 • 将几何问题转化为代数问题来解决，渗透转化与化归、数形结合的思想。 (二)问题引导 深入探究 思路： 寻找与散点在直觉上 “整体最接近”的直线 选择“平方之和 最小”作为标准 “整体最接近 ”的数学刻画 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 第一步： Q 值受到哪些变量的影响？ 变量 a 和 b 第二步： 从函数的角度来看，如何求a , b的值，使 转化与化归 的思想 (二)问题引导 深入探究 看作关于变量 b 的一元函数 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 看作关于变量 a 的一元函数 问题3：何时 取得最小值？ 最小？ 再把 先把 将 带入 中 上式 是关于a 的二次函数 当且仅当 ，Q取得最小值 综上，当a, b的取值为 ，Q取得最小值 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 上式 是关于b的二次函数 当且仅当 ，Q取得最小值 (二)问题引导 深入探究 为例 以 上式 是关于b的二次函数 当且仅当 ，Q取得最小值 (二)问题引导 深入探究 设 ，Q取得最小值 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 上式 是关于a 的二次函数 当且仅当 ，Q取得最小值 综上，当a, b的取值为 带入 将 中 • 将 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式， 其图形称为经验回归直线。 • 这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法，求得的 叫做b ,a 的最小二乘估计。 注意： ① 经验回归直线必过样本数据的中心点 ② 估计公式的结构特征 (三)归纳总结 生成公式 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 例1 利用下表数据，求出儿子身高y 关于父亲身高 x 的经验回归方程，并且 预测一位身高为176cm的父亲，他的儿子身高大约是多少？ (四)实践应用 例题精讲 新课程 . 新教材 . 优秀课例汇集 ？ • 不一定，因为还有其他影响儿子身