第24章圆专题四圆中常见辅助线的作法作业课件2023-2024学年沪科版九年级数学下册

专题(四)　圆中常见辅助线的作法 B 16 B 方法指导：在基本功专练，与圆基本性质有关的选填题这课时中，我们已学过构造同弧所对的圆周角、遇直径构造90°圆周角、遇90°圆周角构造直径等圆中的辅助线作法，本课时，我们继续学习圆中其他常用的辅助线作法． 方法1　利用垂径定理构造直角三角形 1．如图，在⊙O中，P为弦AB上的一点，AP＝OA＝5，BP＝3，则OP的长度为( ) A．3 B． eq \r(10) C． eq \r(7) D．2 eq \r(2) 2．(永州中考)如图，⊙O是一个盛有水的容器的截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为____cm. 3．(合肥包河区期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为_________． eq \f(2\r(5),5) 4．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，∠DEB＝30°，AE＝2，EB＝6，求CD的长． 解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF.∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE＋EB＝2＋6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA－AE＝4－2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝ eq \f(1,2) OE＝1.在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝ eq \r(OD2－OF2) ＝ eq \r(42－12) ＝ eq \r(15) ，则CD＝2DF＝2 eq \r(15) 5．(上海中考)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos ∠ABC＝ eq \f(4,5) ，OC＝ eq \f(1,2) OB. (1)则⊙O的半径长为________； (2)求∠BAC的正切值． 解：(1)5 (2)过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E.∵OC＝ eq \f(1,2) OB，OB＝5，∴BC＝ eq \f(3,2) OB＝ eq \f(15,2) .∵OD⊥AB，∴OD∥CE，∴△BOD∽△BCE，∴ eq \f(OB,BC) ＝ eq \f(BD,BE) ，∴ eq \f(2,3) ＝ eq \f(4,BE) ，∴BE＝6，∴AE＝AB－BE＝8－6＝2.在Rt△BCE中，CE＝ eq \r(BC2－BE2) ＝ eq \f(9,2) .在Rt△ACE中，tan ∠BAC＝ eq \f(CE,AE) ＝ eq \f(9,4) ，∴∠BAC的正切值为 eq \f(9,4) 方法2　利用同圆半径构造等腰三角形 6．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC. (1)求∠AOB的度数； (2)求∠EOD的度数． 解：(1)∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20° (2)∵∠2＝∠A＋∠1，∴∠2＝2∠A.∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＋∠E＝3∠A＝60° 7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，点F是⊙O上一点，连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°. (1)求证：DF平分∠BFC； (2)设AB交DF于点G，且DE＝GE，求∠DCF的度数． 解：(1)证明：如图，连接OC，OD.∵OA＝OD，∠BAD＝∠BFD＝60°，∴△AOD是等边三角形．∵OC＝OD，OA⊥CD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°，∴∠CFD＝ eq \f(1,2) ∠COD＝60°，∴∠BFD＝∠CFD，∴DF平分∠BFC (2)∵AB⊥CD于E，∴∠DEB＝90°.∵DE＝GE，∴∠CDG＝45°.根据(1)∠CFD＝60°，∴∠DCF＝180°－45°－60°＝75° 方法3　遇切线构造过切点的半径 8．如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为( ) A．3 B．4 C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(5) 9．(淮南凤台县一模)如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABE＝∠CBE，BE与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC. (1)求证：l是⊙O的切线； 证明：连接OE交AC于点G.∵OB＝OE，∴∠EBC＝∠OEB，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠OEB，∴AB∥OE，∴∠BAC＝∠OGC＝90°.∵l∥AC，∴OE⊥l.∵OE为半径，∴l是⊙O的切线 (2)连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝ eq \r(32＋42) ＝5，∴O