第24章圆专题三证明切线的两种方法选用作业课件2023-2024学年沪科版九年级数学下册

专题(三)　证明切线的两种方法(选用) 方法归纳：如果题目中并没有告诉直线与圆有一个交点，也没有标出这个点的字母，一定要注意，正确的方法是过圆心作所证直线的垂线，得到垂直90°，然后去证明作出的垂线段长度等于圆的半径才行． 方法归纳：如果题目中明确告诉“切点”在圆上，那么就连接圆心和“切点”，去证明圆心和“切点”的连线与所证明的直线是垂直的即可．这当中要证明垂直，也就是证明角是90°，在题目已知角度的情况下可以直接求出度数，如果没告诉具体角的度数，则需要利用其他知识将角进行等量代换，间接求出角是90°. 方法1　不确定有无交点时作垂直，证半径 1.如图，O为∠PAQ的角平分线上的一点，OB⊥AP于点B，以O为圆心，OB为半径作⊙O，求证：AQ与⊙O相切． 证明：过点O作OD⊥AQ于D.∵AO平分∠PAQ，∴∠BAO＝∠DAO.又∵OB⊥AP，OD⊥AQ，∴∠OBA＝∠ODA＝90°.在△OAB与△OAD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAO＝∠DAO，,∠OBA＝∠ODA，,OA＝OA，)) ∴△OAB≌△OAD(AAS)， ∴OB＝OD，∴点D在⊙O上．又∵OD⊥AQ， ∴AQ与⊙O相切于点D 2．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切． 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD. ∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，∴OM＝ON， ∴ON是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以OB为半径作⊙O. (1)请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)求⊙O的半径． 解：(1)AC与⊙O相切．理由如下：过点O作OD⊥AC于点D.∵∠ABC＝90°，∴OB⊥CB.又∵OC平分∠ACB，∴OD＝OB，∴AC与⊙O相切 (2)∵在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝ eq \r(AC2－BC2) ＝8.∵OD⊥AC， ∴∠ODA＝∠B＝90°.又∵∠A＝∠A， ∴△AOD∽△ACB，∴ eq \f(OD,CB) ＝ eq \f(AO,AC) .设⊙O的半径为x，∴ eq \f(x,6) ＝ eq \f(8－x,10) ，解得x＝3，即⊙O的半径为3 方法2　有交点时连半径，证垂直 (一)利用直角三角形的判定证垂直 4．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点(PB＜OB)，点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP.求证：PC是⊙O的切线． 证明：连接OC.∵点E是线段OP的中点，∴OE＝EP.∵EC＝EP，∴OE＝EC＝EP，∴∠COE＝∠OCE，∠ECP＝∠P.∵∠COE＋∠OCE＋∠ECP＋∠P＝180°，∴∠OCE＋∠ECP＝90°，∴∠OCP＝90°，∴OC⊥PC.∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线 (二)利用全等证垂直 5．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.求证：直线CD是⊙O的切线． 证明：连接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.∵OC＝OC，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线 (三)利用角度的转换证垂直 6．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是 eq \x\to(BC) 的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP.求证：DP是⊙O的切线． 证明：∵P是 eq \x\to(BC) 的中点，∴ eq \x\to(PC) ＝ eq \x\to(PB) ，∴∠PAD＝∠PAB.∵OA＝OP，∴∠APO＝∠PAO，∴∠DAP＝∠APO，∴AD∥OP.∵PD⊥AD，∴PD⊥OP，∴DP是⊙O的切线 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于D，交BC于E，若CD＝CA.求证：CD为⊙O的切线． 证明：连接OD.∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠OBD＝90°，∴∠CDA＋∠ODB＝90°，∴∠CDO＝90°，即OD⊥CD.∵OD是半径，∴CD为⊙O的切线 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE.求证：DF是⊙O的切线． 证明：连接OD，