第24章圆专题七圆与其他知识结合作业课件2023-2024学年沪科版九年级数学下册

专题(七)　圆与其他知识结合 类型1　圆与三角形、四边形等图形 方法归纳：与三角形、四边形等图形综合运用时，往往要运用三角形(四边形……)的外接圆、内切圆的性质及判定解决问题． 1.(阜阳期中)如图，已知△ABC中，以AB为直径的半圆O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数． 解：连接AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.∵BE＝CE，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∠BAC＝2∠CAE，∴∠BAC＝40°，∴∠DOE＝2∠CAE＝∠BAC＝40° 类型2　圆与相似三角形 方法归纳：当圆涉及到求线段的长度或证明线段成比例时，常构造相似三角形解决问题． 3.(安徽一模)如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P. 求证：AD·DC＝PA·BC.　 证明：连接BD.∵DP∥AC，∴∠PDA＝∠DAC.∵∠DAC＝∠DBC，∴∠PDA＝∠DBC.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP＝∠DCB，∴△PAD∽△DCB，∴PA∶DC＝AD∶BC，即AD·DC＝PA·BC 类型3　圆与三角函数 方法归纳：圆中遇到有三角函数的条件或需要求某锐角的三角函数值时，需把上述角摆在已知的(或构造的)直角三角形中． 5.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，P是CBD上任意一点，AH＝2，CH＝4. (1)求⊙O的半径r的长度； (2)求sin ∠CPD. 6．(合肥模拟)AB是半圆O的直径，直线l是半圆O的切线，点P是切点，AC∥l交半圆O于点C，连接PA，PC，OC，OP，AC与OP交于点D. (1)如图①，证明：AP＝CP； 解：证明：∵直线l是半圆O的切线，点P是切点，∴OP⊥l.∵AC∥l，∴OP⊥AC.∵OP是半圆O的半径，AC是弦，∴OP垂直平分AC，∴AP＝CP (2)如图②，连接BC，过点P作PE⊥AB于点E，若PE＝4，AB＝10，求BC的长． 类型4　圆与方程、函数 方法归纳：圆与方程、函数综合运用时，要理解圆在题中的作用． A 2．(淮南田家庵区期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB＝ eq \r(2) ，AD＝1，求CD的长度． 解：(1)△ABC是等腰直角三角形．证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°. ∵∠ADB＝∠CDB，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(BC) ，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形 (2)在Rt△ABC中，AB＝BC＝ eq \r(2) ，∴AC＝2.在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝ eq \r(3) 4．(合肥庐江县二模)如图，点C是⊙O直径AB延长线上一点，BC＝OB，点P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，点E为半径OB的中点． (1)如图①，若PE＝ eq \r(3) ，求PC的长； (2)如图②，当PE⊥OB时，求证：CP是⊙O的切线． 解：(1)在图①中连接OP.∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴ eq \f(OE,OP) ＝ eq \f(OP,OC) ＝ eq \f(1,2) .又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴ eq \f(PE,PC) ＝ eq \f(OE,OP) ＝ eq \f(OP,OC) ＝ eq \f(1,2) .∵PE＝ eq \r(3) ，∴PC＝2 eq \r(3) 　 (2)证明：在图②中连接OP，PB.∵点E为半径OB的中点，∴OE＝ eq \f(1,2) OB＝ eq \f(1,2) OP.∵PE⊥OB，∴∠PEO＝90°， ∴cos ∠EOP＝ eq \f(OE,OP) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠EOP＝60°.又∵OP＝OB，∴△OPB是等边三角形，∴∠OBP＝∠BPO＝60°，OB＝PB.∵BC＝OB，∴BC＝PB，∴∠C＝∠BPC＝ eq \f(1,2) ∠OBP＝30°，∴∠OPC＝∠BPO＋∠BPC＝90°.∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线 解：(1)连接OC.∵AB⊥CD，∴∠CHO＝90°.在Rt△COH中，∵OC＝r，OH＝r－2，CH＝4，∴r2＝42＋(r－2)2，∴r＝5　(2)连接OD.∵AB⊥CD，AB是直径，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(AC) ＝ eq \f(1,2) eq \x\to(CD) ，∠AOC＝ eq \f(1,2) ∠COD.∵∠CPD＝ eq \f(1,2) ∠COD，∴∠CPD＝∠COA.在Rt△OCH中，sin ∠COA＝ eq \f(CH,CO) ＝ eq \f(4,5) ，∴sin ∠CPD＝sin ∠COA＝ e