新高考“九省联考”第19题压轴题汇编-2024届高三数学复习专练

一、集合新定义 1．（2023下·北京·高一校考开学考试）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断、哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； (3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值. 注：、分别表示数集中的最小数与最大数. 2．（2024·全国·校联考模拟预测）已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）. (1)若，求及； (2)若，求证：互不相同； (3)已知，若对任意的正整数都有或，求的值. 3．（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）. 对于中的任意元素，定义，的距离： 若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”. (1)若，，，，，，求，及的值； (2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5； (3)求证：当时，“好集”不存在. 4．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 5．（2023上·北京·高一清华附中校考期中）对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义. (1)设，请直接写出集合； (2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值． 二、函数与导数新定义 6．（2024·全国·校联考模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式 伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明 7．（2024·全国·校联考模拟预测）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求的最小值． 8．（2023下·北京昌平·高一统考期末）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 9．（2024·河南·高三专题练习）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为． (1)若，求； (2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中； (3)已知．对，令．证明：． 10．（2024·全国·校联考模拟预测）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； (2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； (3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 11．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 12．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为 (1)若，求集合； (2)若，求集合； (3)设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列． 13．（2024·全国·校联考一模）关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”. (1)证明：