17.2 一元二次方程的解法　课件　2023—2024学年沪科版数学八年级下册

第17章 一元二次方程 义务教育沪科版数学八年级下册 Start! 17 . 2 一元二次方程的解法 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法 17.2 一元二次方程的解法 复习引入 1. 如果 x2 ＝ a，那么 x 叫做 a 的 . 平方根 2. 如果 x2 ＝ a (a≥0)，那么 x ＝ _______. 3. 如果 x2 ＝ 64，那么 x ＝ ______. ± 4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. ±8 17.2 一元二次方程的解法 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 . 1、定 义 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ●不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ●只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是 x2＝p中p ≥ 0. 特别警示 17.2 一元二次方程的解法 知识链接 平方根的定义： 若 x2＝a (a ≥ 0)，则x是a的平方根，即x＝± . 17.2 一元二次方程的解法 (1)当 p＞0 时，方程有两个不等的实数根 x1＝ －， x2＝ ； (2)当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0； (3)当 p＜0 时，方程没有实数根 . 2. 方程 x2 ＝ p 的解(根)的情况 . 17.2 一元二次方程的解法 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 步骤 1： 移项，将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为 1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根) . 步骤 2： 开平方，将方程转化为两个一元一次方程 . 步骤 3： 解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根 . 17.2 一元二次方程的解法 以前我们实际上已解过一些特殊的一元二次方程，比如，求x2＝9中x的值.它的解法，就是开平方，即 x＝±，x ＝±3 . 所以直接开平方就可求得方程 x2 ＝ 9的两个根：x1 ＝ － 3， x2 ＝ 3. 17.2 一元二次方程的解法 练 习 直接开平方解下列方程： (1) x2 ＝ 25； (2) x2 －0.81＝ 0； x ＝ ± ∴ x1 ＝ ， x2 ＝－. x2 ＝0.81 x ＝ ± 0.9 ∴ x1 ＝ 0.9， x2 ＝ － 0.9. 17.2 一元二次方程的解法 (3) 3(x＋1)2 ＝ 48； (4) 2(x － 2)2 －4＝ 0； (x＋1)2 ＝ 16 x＋1 ＝ ± 4 x＝ ± 4 －1 ∴ x1 ＝ － 5 x2 ＝ 3 2(x － 2)2 ＝4 (x － 2)2 ＝2 x － 2＝± x ＝±＋2 ∴ x1 ＝ －＋2 x2 ＝ ＋2 17.2 一元二次方程的解法 17.2.1 配方法 17.2.1 配方法 思 考 怎样解上节问题1中得到的方程 x2＋2x－1＝0？ 这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式? 17.2.1 配方法 下面，对这个方程进行变形： 把常数项移到等号右边，得 x2＋2x＝1 对等号左边配方，得 x2＋2x＋1＝1＋1， 17.2.1 配方法 即 (x＋1)2＝2. x2＋2x＋1＝1＋1， 这时，对上式直接开平方，得 x＋1＝±. 为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数? 17.2.1 配方法 所以原方程的根是 x1＝－1，x2＝－－1. (考虑到问题1的实际情况，这里只能取x1＝－1≈0.41，即：年平均增长率应是 41%) x＋1＝±. 17.2.1 配方法 像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完 全平方式后，接开平方求解的方法，叫做配方法. 1、定 义 “化自方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法. 17.2.1 配方法 (1) 移项 . 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边 . (2) 二次项系数化为 1. 方程的左、右两边同时除以二次项系数 . (3) 配方 . 把方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为( x＋n)2＝p 的形式 . 2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤  17.2.1 配方法 (4) 开平方 . 如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开平方法求解；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实数根 . 即： ①当 p ＞ 0 时，方程(x＋n)2＝p 有两个不等的实数根x1＝－n