6.3.4-6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

6.3.4&6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 【考点梳理】 考点一：由坐标判断坐标是否共线问题 考点二：由向量平行（共线）求参数 考点三：由坐标解决三点共线问题 考点四：数量积和模的向量坐标运算 考点五：向量垂直的坐标表示问题 考点六：向量垂直和数量积的参数问题 考点七：向量的夹角问题 考点八：平面向量数乘和数量积的综合 【知识梳理】 知识一：平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 1．（2023下·浙江台州·高一台州一中校考期中）已知，，，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022下·江苏镇江·高一校考期中）下列各组的两个向量，共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2021下·江苏南通·高一统考期中）已知，，，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．，且与方向相反 C．，且与方向相同 D．，且与方向相反 题型二：由向量平行（共线）求参数 4．（2023下·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校考阶段练习）已知向量，则“ ”是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·全国·高一随堂练习）已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 题型三：由坐标解决三点共线问题 7．（2023下·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2023下·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）向量，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或-11 D．或 9．（2022上·辽宁大连·高一育明高中校考期末）已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：数量积和模的向量坐标运算 10．（2023下·全国·高一专题练习）已知平面向量，，满足，，且．若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023下·新疆喀什·高一统考期中）已知向量，，求： (1)； (2)||； (3). 12．（2023下·天津滨海新·高一校考期中）已知向量 (1)求； (2)若，求的值； (3)若与的夹角为锐角，求的取值范围. 题型五：向量垂直的坐标表示问题 13．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）已知向量，若，则（    ） A． B．0 C． D．3 14．（2023下·吉林长春·高一校考期末）已知向量， ， ，若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 15．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型六：向量垂直和数量积的参数问题 16．（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 17．（2023下·福建漳州·高一统考期末）已知向量与垂直，