2024年九年级中考数学专题复习：圆与锐角三角函数综合相关证明

2024年九年级中考数学专题复习：圆与锐角三角函数综合相关证明 1．如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．    (1)求证：． (2)若，求的半径． 2．如图，四边形内接于，是的直径，延长，交于点，连接交于点，过点作，垂足为点，已知．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的值； (3)若，则的值是多少？ 3．如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 4．如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 5．如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求和弧的长． 6．如图，是的外接圆，是的直径，过点作直线，交的延长线于点，且满足，过点作于点，与交于点．      (1)求证：． (2)若，，求的长． 7．如图，是的直径，为的切线，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 8．如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若， ①求的长； ②求的半径． 9．如图，为的直径，直线切于点C，，垂足为D． (1)若，求； (2)若，，求的长． 10．如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点D，过点D作交的延长线于点E，垂足为点F．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径，，求的长． 11．如图，已知是的直径，与相切于点，的弦，连接交于点，延长与交于点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 12．如图，是的直径，点，在上，，与相交于点，点在的延长线上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 13．如图，是的直径，是弦，点在圆外，于点交于点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 14．如图，在中，，是的直径，交于点D，过点D的直线交于点E，交的延长线于点P，是的切线．    (1)求的度数； (2)若，，求图1中阴影部分的周长； (3)如图2，若，连接，交于点N，若，求的值． 15．已知：如图，内接于为直径，弦于是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：． 16．如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接交于点P．    (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)若，，求的长． 17．如图1，在中，，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，是的切线．    (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的周长； (3)如图2，，连接，交于点，若，求的值． 18．如图1，锐角内接于，D为的中点，连结并延长交于点E，连结，，过C作的垂线交于点F，点G在上，连结，，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值． (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【详解】（1）∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，则，由得，进而推出，而，则，所以为的切线； （2）由（1）可知，是斜边上的中线，则，由圆周角定理可得，则，即可求解； （3）证明，根据相似三角形的性质可得，由三角形中位线定理及等腰三角形的性质可得，进而，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 为的切线． （2）解：由（1）可知，是斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）知，是的中位线， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合应用，熟练掌握圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识点是解题的关键． 3．(1)见解析