2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明

2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明 1．如图，为直径，为上一点，的平分线交于点，过点作的延长线于点，直线与射线交于点．    (1)求证：为切线； (2)若，，求的长． 2．如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，经过上一点P，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，半径为4，在圆O上取点P，使，求点P到直线的距离． 4．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长． 5．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 6．如图，已知以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，的长是方程的两个根，求直角边的长． 7．如图，在 中，，以为直径的交 于点D，，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若 ，，求图中阴影部分的面积． 8．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10．如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线． (2)过点作于点，交于点，若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 11．如图，等腰的顶点A，C 在上， 边经过圆心0且与 交于D 点，. (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积 12．如图，是外接圆的直径，是的切线，，点D在上．    (1)求证：是的切线． (2)若的边，，I是的内心，求的长度． 13．如图，是的直径，是弦，点是上一点，，连接交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弧的长度． 14．如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若时，求阴影部分的面积． 15．如图，是的直径，点D是的中点，，且，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求的长； (3)延长，交于点F，若，求的半径． 16．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若时，，求的直径的长． 17．如图，以菱形的边为直径作交于点，连接，是上的一点，且，连接．    (1)当，时，求的长． (2)求证：是的切线． 18．如图，以的边为直径作，分别交，于点，，点在上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径． 19．如图，在中，，点D是上一点，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，的半径为2，求的长． 20．如图，是的直径，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，证明，即可． （2）连接，证明，结合勾股定理，求得，再证明列出比例式计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为切线． （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理以及平行线的判定及性质，熟练掌握切线的判定和相似是解题的关键． 2．(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连结，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由，证明是的直径，则，由，得＝1，因为，所以，则，再证明，则，即可求得． 【详解】（1）证明：连结，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为1． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）连接，可得，从而可证，即可求证； （2）①过点作交的延长线于点，并连接、，，过作交于，可求，从而可求，，进而可求，即可求解；