2024年九年级中考数学专题复习：新定义理解问题

2024年九年级中考数学专题复习：新定义理解问题 一、单选题 1．定义计算，例如，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．对于实数，定义一种运算“※”，规定，如，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边长为3，则腰的长为（    ） A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6 4．现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，，若有理数满足，则的值为（    ） A．21或4 B．5或21 C．4 D．5 5．对于任意有理数，定义新运算“”：，例如：，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．27 6．对坐标平面内不同的两点，定义，则之间的距离与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 8．设，是实数，定义关于“∗”的一种运算如下：．则下列结论：①若，则或；②；③若，，则；④不存在实数，，满足．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 9．定义符号“*”表示的运算法则为，若，则 ． 10．（定义新运算）已知，，，；则这种定义新运算的方法是 ． 11．对于有理数，，我们定义新运算．其中， 是常数． 若| ，则 ． 12．对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 13．定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么 ． 14．用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如，那么 ． 15．定义新运算“◇”：对于两个有理数、，定义，例如，那么 ． 16．定义：一次函数和一次函数互为 “相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．定义一种新运算“⊕”：， 比如： ． (1)求的值； (2)已知，请根据上述运算，求 值． 18．定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：，所以1与2是关于3的平衡数；，所以10与是关于5的平衡数． (1)与是关于______的平衡数；与______是关于2的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于3的平衡数，并说明理由． 19．定义：在三角形中，若最大内角是最小内角的倍，（为大于1的正整数），则称这个三角形为“倍三角形”，例如在 中，，，，则称 为“3倍三角形”． (1)在 中，，，是几倍三角形？ (2)如图，在 中，平分，平分，，是“6倍三角形”，是它的最小内角，求的度数． 20．阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．先根据题意得出关于x的一元二次方程，求出判别式的值即可． 【详解】解：由，得： 方程为，即． ∵，方程有两个相等的实数根． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了解分式方程．利用已知新定义化简所求方程，求出解． 【详解】解：根据题中的新定义规定化简得：， ， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系．分类讨论：或，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：∵是等腰三角形，底边， ∴． 当时，是“倍长三角形”； 当时，， 根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； ∴当等腰是“倍长三角形”，底边，则腰的长为6． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了定义新运算，解题的关键是熟练掌握新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程 根据“*”的定义，分为两种情况，①当时，，②当时，，解一元一次方程，符合题意的值即为所求． 【详解】∵， ∴当时，， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，不合，舍去． ∴． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查两点之间线段最短的性质，坐标与图形性质，根据点的坐标的特征，、、三者正好构成直角三角形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：当两点不与坐标轴平行时， ∵的长