2024年九年级中考数学专题复习：几何最值问题

2024年九年级中考数学专题复习：几何最值问题 一、单选题 1．如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．10 2．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 3．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 5．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（    ） A．4 B．4.5 C．5.5 D．5 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（    ） A．2 B．π C．2π D．π 8．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）    A． B．2 C．2 D．3 二、填空题 9．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ． 10．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 11．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是 ． 12．如图，已知正方形的边长为2，点P在射线上，则的最小值为 ．    13．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ． 14．如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为 ． 15．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 ． 16．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 三、解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画，使与关于y轴对称； (2)求的面积； (3)在y轴上作一点P，使得最短； 18．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值 19．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值． 20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度． (3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可. 【详解】连接，交于P点 ∵四边形为正方形 ∴A点和C点关于对称 根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长. ∵， ∴的最小值为5 故选：A     【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键. 2．D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角