2024年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，构造矩形．设点的横坐标为， (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，求四边形的周长与的函数关系式； (3)当该抛物线的顶点和点B到所在直线的距离相等时，求m的值； (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 2．如图1，在平面直角坐标系巾，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图2，点D是抛物线的顶点，连接，，判断的形状，并求出面积； (3)如图3，在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标； (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点Q，使得以点A，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q坐标． 3．如图①，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．P是抛物线上的一个动点，过点P作轴于点H，交直线于点Q．设点P的横坐标为m，的长为d． (1)求抛物线的表达式； (2)求d与m之间的函数关系式； (3)当点P在直线下方，且时，求m的值． 4．已知抛物线 与x轴交于，， 与y轴交于点 C． (1) ， ； (2)如图1， 过点的直线交抛物线与E，F，轴于G， 轴于 H，求证：为定值； (3)如图2， 已知 ，将抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）沿x轴向上翻折，得到图像 T（虚线部分），点 M为图像 T的顶点． 现将图像T 保持其顶点在直线上平移，得到的图像 与线段至少有一个交点，求图像 的顶点横坐标t的取值范围． 5．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线，已知：、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出B点坐标； (3)在对称轴上是否存在一个P点，使最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 6．如图，点A，B，C都在抛物线（其中）上，轴，，且． (1)当时，用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)①用含m的式子表示抛物线的顶点坐标 _________； ②求点C到直线的距离（用含a的式子表示）； (3)若点C到直线的距离为1，当时，y的最大值为2，求m的值． 7．在平面直角坐标系中，过点任作一条直线分别交抛物线）于两点，如图，当轴时，是等腰直角三角形． (1)______； (2)如图，过作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为，连接， ①设点的横坐标为，求点的坐标（用含的代数式表示）； ②试说明； (3)如图，过作轴的平行线交抛物线于两点，直线相交于点，的面积是否为定值？如果是，请求出的面积；如果不是，请说明理由． 8．如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，，抛物线的对称轴与轴交于点，，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过点，． ①平移抛物线，使其始终与直线有且只有一个公共点，平移后的顶点为，求证：所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行； ②为线段上不与端点重合的点，直线：过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 9．如图，抛物线经过点，与轴交于点，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，过点作轴交直线于点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图，为平面内一点，直线、分别交抛物线于另一点、，连接，若，求点的横坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点（与点B，C不重合）．连接交于点Q． (1)求抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)试探究在点P的运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．定义：平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，，中，是矩形“梦之点”的是________； (2)如图②，已知、是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点： ①求出，，三条线段的长度； ②判断的形状，并说明理由． 12．已知直线与抛物线有唯一公共点，直线分别交轴，轴于两点． (1)如图1，当，时，求的值； (2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标； (3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：． 13．已知抛物线：和：， (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A．直线经过点A，交抛物线于另一点B．请你在线段上取点P，过点P作直线轴交抛物线于点Q，连