第五章 一元函数的导数及其应用单元检测-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用单元检测 一、单选题 1．函数从到的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（    ） A．10.9 B．0.1 C．6 D．5 3．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．函数的导数=（    ） A． B． C． D． 6．若函数在单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 9．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 10．下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 11．已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是增函数，无极值 B．是减函数，无极值 C．的单调递增区间为，，单调递减区间为 D．是极大值，是极小值 三、填空题 13．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 14．已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为 . 15．设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是 . 16．已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ． 四、解答题 17．如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为． (1)当，时，求和； (2)求函数在处的导数． 18．已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 19．写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，讨论的零点个数. 21．已知函数在时取得极值 . (1)求的解析式； (2)若函数有一个零点，求实数的取值范围. 22．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：. 答案 1．B 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B 9．AC 10．BCD 11．BC 12．CD 13． 14．（或） 15． 16． 17．（1）， 故当，时，，． （2）由（1）得， 故函数在处的导数是48． 18．（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 19．（1）对于，中间变量为，则， 所以. （2）对于，中间变量为，则， 所以. （3）对于，中间变量为，则， 所以. （4）对于，中间变量为，则， . 20．（1），， 当时，，在上单调递减. 当时，令，解得， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减. （2），当时，令，得， 由于，所以， 设， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，且，， 所以当时，没有零点， 当时，有个零点， 当时，有个零点. 21（1）因为，则， 由题意可得，解得， 所以，此时，， 经检验可知，函数在处取得极值， 因此； （2）问题等价于有一个的实数根，求的范围， 由，得或， 由，得，所以在、上单调递增， 在上单调递减，则函数的极大值为， 极小值为，如下图所示：    由图可知，当或时，直线与函数的图象有1个交点， 因此，实数的取值范围是. 22．（1）的定义域, 若则在上单调递增； 若当时，则单调递减，时，则单调递增. 综上：当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因，设则， 则在上单调递减，故. 学科网（北京）股份有限公司