第六章 计数原理 复习课教案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章计数原理复习课教案 【教学目标】 1．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，进一步理解两类特殊的计数问题：排列与组合，并利用两个计数原理推导出排列数公式与组合数公式； 2．根据多项式的乘法运算法则和计数原理推导出二项式定理，并研究二项式系数的性质。 【重点难点】 重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用，排列与组合问题的应用，二项式定理的应用。 难点： 排列与组合问题 一、知识回顾 知识点一、计数原理 1.分类加法计数原理 概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法（也称加法原理） 特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏” 2.分步乘法计数原理 概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种不同的方法（也称乘法原理） 特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整” 知识点二、排列 1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示 3.排列数公式：（，且） 知识点三、组合 1.组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示 3.组合数公式：（，且） 4.组合数的性质：（1）；（2） 知识点四、二项式定理 1.二项式定理 概念：一般地，对于任意的正整数， 都有. 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，称为二项展开式的第项，又称为二项展开式的通项 2.二项展开式的特征： （1）二项展开式共有项； （2）二项式系数依次为组合数； （3）各项次数都等于二项式的幂指数； （4）字母的指数由开始按降幂排列到0，的指数由0开始按升幂排列到 3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分 4.二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的 最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值 5.二项式系数和： （1）二项展开式中各二项式系数之和为； （2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于. 2、 题型分析 学习目标一 排列、组合应用问题 例1 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ） A．528 B．516 C．525 D．511 例2. 安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是（ ） A．480种 B．160种 C．250种 D．320种 例3. 5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 例4. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是 学习目标二 二项式定理及其应用 例5 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，n= 例6（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； 例7（1）求的展开式中的系数； （2）求:的展开式中的系数； 三、方法总结 1. 排列、组合应用题的解题策略 （1） 特殊元素、位置优先安排的策略； （2） 合理分类与准确分步的策略； （3） 正难则反，等价转化的策略； （4） 相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理的策略； （5） 元素定序，先排后除的策略； （6） 排列、组合混合题先组后排策略； （7） 复杂问题结构模型策略． 2. 二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的 最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值 3.二项式系数和： （1）二项展开式中各二项式系数之和为； （2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项