第六章 平行四边形 培优突破练习【5个考点50题专练】【讲评课件】　2023—2024学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 培优突破练习【5个考点50题专练】 1 一．三角形中位线定理 二．多边形内角与外角 三．平行四边形的性质 四．平行四边形的判定 五．平行四边形的判定与性质 2 一．三角形中位线定理 3 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点C作CD⊥AD，AD交BC于点G，DE∥AB交AC于点E，作∠BCA的平分线CF交AD于点P，交AB于点F，若∠B=60°，下列结论：①∠PCD=30°；②∠AFC+∠DCG=90°；③BG=AE；④AC=AF+CG；⑤S△APF+S△CPG=S△APC．其中正确的个数是( ____ ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 4 【解析】解：方法一：延长CD交AB的延长线于H，连接HP、HG， ∵AD⊥CH， ∴∠ADC=∠ADH=90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠HAD=∠CAD， ∴∠AHC=∠ACH， ∴AH=AC， ∴△ACH为等腰三角形， ∴CD=CH， ∵DE∥AB， 5 ∴AE=CE，∠ADE=∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAE， ∴∠DAE=∠ADE， ∴AE=DE， ∴AE=DE=CE， ∵CD⊥AD，CD=CH， ∴AD为HC的垂直平分线， ∴∠AHP=∠ACP，PC=PH， ∵∠BCA的平分线CF交AD于点P， ∴∠ACP=∠BCF， 6 ∴∠AHP=∠BCF， ∵∠CFH为公共角， ∴∠FPH=∠CBF， ∵PC=PH， ∴∠FPH=∠PCD+∠PHD=2∠PCD， ∴∠CBF=2∠PCD=60°， ∴∠PCD=30°，故①正确， 方法二：∵AD平分∠BAC，CF平分∠BCA， ∴∠APC=90°+ ∠ABC=90°+30°=120°， ∴∠CPD=60°， 7 ∵CD⊥AD， ∴∠PCD=30°，故①正确， ∵∠CGD=∠GCP+∠CPG=∠GCP+60°，∠AFC=∠GCP+∠FBC=∠GCP+60°， ∴∠AFC=∠CGD， ∵∠CGD+∠GCD=90°， ∴∠AFC+∠GCD=90°，故②正确， ∵AE=DE=EC= AH，无法判断BG= AH，故③错误， ∵∠PCD=30°=∠PHD， ∵CF为∠ACB的平分线， ∴HP为∠FHG的平分线， 8 在△HFP和△HGP中， ， ∴△HFP≌△HGP(ASA)， ∴HG=HF=CG，FP=GP， ∴AF+CG=AF+HF=AH=AC，故④正确． 作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q， ∴PM=PN=PQ， ∵S△APF= AF×PM，S△CPG= CG×PQ，S△APC= AC×PN， 9 ∴S△APF+S△CPG=S△APC，故⑤正确． 故选：C． 10 2.如图，在正△ABC中，BD=4，CE=2，连结DE，若M、N分别为线段DE、BC的中点，则线段MN的长度等于( ____ ) A. B. C. D.3 【解析】解：如图，连接DN并延长到F，使NF=DN，连接EF， B 11 __ ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵N为线段BC的中点， ∴BN=CN， 12 在△BND和△CNF中， ， ∴△BND≌△CNF(SAS)， ∴∠NCF=∠B=60°，CF=BD=4， ∴∠ECF=120°， ∴∠ECG=60°， 过点E作EG⊥FC于点G， ∴∠CEG=30° ∵CE=2， 13 ∴CG=1， ∴EG= ， ∴FG=CF+CG=4+1=5， ∴EF= = =2 ， ∵M、N分别为线段DE、BC的中点， ∴MN= EF= ． 故选：B． 14 3.在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B(- ，- )，C( ， )．任意一点A都满足|AB-AC|=2 ．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为( ____ ) A. B. C. D.1 【解析】解：如图：过C作CD⊥AF，垂足为M，交AB于D， B 15 ___ ∵AF平分∠BAC，且AM是DC边上的高， ∴△DAC是等腰三角形， ∴AD=AC， ∴BD=AB-AC=2 ， 即BD长为定值， 16 过M作MN∥BD于N， 则四边形MNBD是个平行四边形， ∴MN=BD， ∵MN∥BD，DM=MC， ∴MN平分线段BC， ∴MN与BC交于O， ∵∠MCO=∠NBO，∠MOC=∠NOB，OC=OB， ∴△MOC≌△NOB(ASA)， ∴OM=ON， 在△MNF中，无论F怎么变化，有两个条件不变： ①MN的长为定值，②∠MFN=90°， 17 因此如果作△MNF的外接圆，那么F点总在以MN为直径的圆上运动，因此F点的运动轨迹应该是个圆． ∴圆的直径为MN，且M